В статье представлены результаты исследования динамики семейства итерированных рациональных функций. Исследованы орбиты точек при различных значениях параметра, выявлена структура неподвижных точек данного семейства. Разработаны алгоритмы построения множеств Жюлиа и заполняющих множеств Жюлиа, представлена визуализация этих множеств при определенных значениях параметра. Разработан алгоритм построения множества Мандельброта, выявлено обрамление множества Мандельброта и алгоритм его построения.
Идентификаторы и классификаторы
В настоящее время активно развивается новое направление науки — дискретные динамические системы, одной из составляющих которого является голоморфная динамика. Важнейшими объектами изучения в голоморфной динамике являются множества Жюлиа, структура неподвижных точек, множества Мандельброта и их обрамления. Связана голоморфная динамика и с новой дисциплиной современной математики — фрактальной геометрией, так как множества Жюлиа во многих случаях являются фракталами. Граница множества Мандельброта также имеет фрактальную структуру. В настоящее время с помощью множеств Жюлиа и множеств Мандельброта разрабатываются математические модели в физике, экономике и других дисциплинах.
Список литературы
-
Кроновер, Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах / Р. М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.
-
Маркушевич, А. И. Введение в теорию аналитических функций / А. И. Маркушевич, Л. А. Маркушевич. - М.: “Просвещение”, 1977. - 320 с.
-
Милнор, Дж. Голоморфная динамика / Дж. Милнор. - Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. - 320 с.
-
Пайген, Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем / Х.-О. Пайген, П. Х. Рихтер. - М.: Мир, 1993. - 176 с.
-
Falconer, K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications / K. Falconer. - New York: John Wiley, 1990. - 367 p.
-
Секованов, В. С. Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности студентов физико-математических специальностей университетов. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук / Московский педагогический государственный университет. Кострома 2007 г. EDN: QDZHQR
-
Секованов, В. С. Элементы теории фрактальных множеств / В. С. Секованов. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2010. EDN: ZFXTST
-
Секованов, В. С. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости / В. С. Секованов, А. Л. Салов, Е. А. Самохов // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин. Материалы V Всероссийской научно-методической конференции. - 2011. - С. 85-103. EDN: YTLUNN
-
Секованов, В. С. О множествах Жюлиа рациональных функций / В. С. Секованов // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. - 2012. - Т. 18, № 2. - С. 23-28. EDN: PYNQJR
-
Секованов, В. С. Элементы теории фрактальных множеств / В. С. Секованов. - Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2012. - 208 с. EDN: ZFSPGF -
Секованов, В. С. Изучение преобразования пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения / В. С. Секованов, Д. П. Миронкин // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. - 2013. - Т. 19, № 1. - С. 190-195. EDN: QBBLDR -
Секованов, В. С. Академик АН СССР А. Н. Колмогоров: Жизнь в науке и наука в жизни гения из Туношны / В. С. Секованов. - М., 2014. - 704 с. -
Секованов, В. С. Развитие гибкости мышления студентов при изучении структуры неподвижных точек полиномов комплексной переменной / В. С. Секованов, А. О. Смирнова // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2016. - Т. 22, № 3. - С. 189-192. EDN: WTOYOL -
Секованов, В. С. О некоторых дискретных нелинейных динамических системах / B. С. Секованов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21, вып. 3. - C. 133-150. -
Секованов, В. С. Что такое фрактальная геометрия? / В. С. Секованов. - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 260 с. EDN: ZELYOV -
Секованов, В. С. Гладкие множества Жюлиа / В. С. Секованов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21, вып. 4. - С. 133-150. -
Секованов, В. С. Элементы теории дискретных динамических систем. Учебное пособие / В. С. Секованов. - СПб.: Издательство "Лань", 2017. - 180 с. EDN: ZBULNT -
Секованов, В. С. О множествах Жюлиа функций, имеющих параболическую неподвижную точку / В. С. Секованов, Л. Б. Рыбина, А. Е. Березкина // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественно-научных дисциплин. - 2018. - С. 144-150. EDN: YXAECH -
Секованов, В. С. Изучение обрамлений множеств Мандельброта полиномов второй степени как средство развития оригинальности мышления студентов / В. С. Секованов, Л. Б. Рыбина, К. Ю. Стрункина // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2019. - Т. 25, № 4. - С. 193-199. EDN: SKKLNJ -
Секованов, В. С. Фрактальная геометрия. Преподавание, задачи, алгоритмы, синергетика, эстетика, приложения: Учебное пособие / В. С. Секованов. - СПб.: Издательство "Лань", 2019. - 180 с. -
Секованов, В. С. О множествах Жюлиа функций, имеющих неподвижные параболические точки / В. С. Секованов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2021. - Т. 23, вып. 4. С. 163-176. EDN: NZZZRV -
Секованов, В. С. Обрамления первого и второго порядков множеств Мандельброта и структура неподвижных точек полиномов второй степени / В. С. Секованов, Л. Б. Рыбина // Фундаментальная и прикладная математика. - 2022. - Т. 24, вып. 2. - С. 197-212. -
Секованов, В. С. Голоморфная динамика. Учебное пособие / В. С. Секованов. - СПб.: Издательство "Лань", 2021. - 168 с. -
Sekovanov, V. S. On Some Discrete nonlinear dynamical systems / V. S. Sekovanov // Jornal of Matematical Sciences. - 2019. - V. 237, № 3. - P. 460-472. -
Execution of matemanics and information multister task "Buililding a fractal set with L-systems and information technoloqies" as a means of creative of students / V. Sekovanov, V. Ivkov, A. Piguzov, A. Fateev // In: CEUR Workshop Proceedings Selected Papers of the 11 th International Scientific-Practical Conference Modern Information Technologies and IT-Education, SITITO, 2016. - 2016. - P. 204-211. -
Sekovanov, V. S. Smooth Yulia Sets / V. S. Sekovanov // Jornal of Matematical Sciences. - 2020. - V. 245, № 2.
Выпуск
Другие статьи выпуска
В данной работе представлена численная модель распространения ударной волны в газовзвеси. Представлены одномерные и двухмерные математические модели динамики запыленных сред. Математические модели реализовывали континуальную методику моделирования динамики неоднородных сред -для каждой из компонент смеси решалась полная гидродинамическая система уравнений движения. Несущая среда описывалась как вязкий, сжимаемый теплопроводный газ. Математическая модель учитывала обмен импульсом и теплообмен между компонентами смеси. Уравнения математической модели решались явным конечно-разностным методом Мак-Кормака для получения монотонного решения применялась схема нелинейной коррекции. Было выявлено, что в случае периодического распределение концентрации дисперсной компоненты, при прохождении ударной волны по газовзвеси происходит формирование физических полей несущей среды и дисперсной компоненты с периодической структурой.
Исследовано многомерное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Левая часть уравнения имеет вид однородного полинома второй степени от искомой функции и ее производных первого и второго порядков. Рассматривается линейное мультипликативное преобразование неизвестной функции, которое преобразует исходное уравнение к уравнению того же вида. Найдены инварианты этого преобразования и сформулирована теорема об условиях эквивалентного преобразования уравнений указанного вида.
Абстрактный оператор рассматривается в произвольной области многомерного пространства. Возмущениями являются некоторые произвольные операторы. Изучается сходимость кратных собственных значений. Доказаны теоремы сходимости.
В работе проводится анализ поведения математической модели трехуровневой пищевой пирамиды, которая называется моделью Розенцвейга-Макартура и относится к классу сингулярно возмущенных систем. Эта модель описывает динамику трех взаимодействующих популяций разных трофических уровней - жертвы, хищника, суперхищника и математически записывается в виде системы трех дифференциальных уравнений. В некоторых областях фазового пространства состояние динамической системы может быть с относительной точностью охарактеризовано небольшим количеством переменных, описывающих проекцию меньшей размерности. Проекция меньшой размерности может иметь место во всем фазовом пространстве или в его ограниченных областях. Для описания поведения системы, находящейся в области, где построение проекции меньшей размерности невозможно используются асимптотические методы.
В статье предлагается разработанная авторами модель искусственной иммунной системы. Рассматривается общий алгоритм ее применения, и объясняются способы применения для различных практических задач. Алгоритм изменяется в зависимости от решаемой задачи, но цель решение оптимизационной задачи достигается. Производится сравнение решения известных задач с помощью искусственной иммунной системы и с помощью других методов с известными результатами.
В работе рассматривается дробно дифференциальный полиномиальный оператор, обобщающий многочлен с целочисленным дифференцированием. Исследуется его обратимость в классах функций ограниченных со специальным весом. Устанавливается существование ограниченного обратного к рассматриваемому оператору в этих пространствах. Указывается интегральное представление и оценка решения через правую часть. Отметим, что полученный результат является важным при установлении так называемой промежуточной асимптотикой Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича для задач без начальных условий.
Получены уравнения и исследованы закономерности установления равновесных форм изолированной капли несжимаемой, невязкой идеально проводящей жидкости при движении в диэлектрической среде под действием внешнего электростатического поля. Показано, что воздействие ламинарного потока идеального газа, представляющего собой среду с однородными диэлектрическими свойствами, сфероидальная форма капли преобразуется в сплюснутый сфероид с осью симметрии, ориентированной в направлении потока. Внешние электростатические силы обусловливают деформацию капли к вытянутому по полю сфероиду. Наличие на капле электрического заряда способствует увеличению эксцентриситета формируемой поверхности. На основе формализованного представления процессов эволюции определены рациональные соотношении величинами напряженности электростатического поля и скорости ламинарного потока, необходимые для сохранения исходной равновесной формы заряженной капли.
С использованием уравнений Лапласа для потенциалов скорости несжимаемой идеально проводящей жидкости и электрического поля получены уравнения и исследованы закономерности возбуждения нелинейных капиллярных колебаний изолированной капли с поверхностным электрическим зарядом в бесконечно протяженной диэлектрической среде. На основе решения полученных уравнений методом многих масштабов при аппроксимации отклонения поверхности заряженной капли от сферической формы рядом полиномов Лежандра найдены аналитические представления колебаний при многомодовой начальной деформации структуры.
Издательство
- Издательство
- ВГУ
- Регион
- Россия, Воронеж
- Почтовый адрес
- 394018, Воронежская область, город Воронеж, Университетская пл., д. 1
- Юр. адрес
- 394018, Воронежская область, город Воронеж, Университетская пл., д. 1
- ФИО
- Ендовицкий Дмитрий Александрович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- imo@interedu.vsu.ru
- Контактный телефон
- +7 (473) 2204133
- Сайт
- https://www.vsu.ru/