Данная работа рассматривает построение обобщенного вычислительного эксперимента для решения задач верификации. Проблема сравнительной оценки точности численных методов в настоящее время приобретает особую актуальность ввиду введения федеральных стандартов и распространению программных пакетов, включающих большое количество разнообразных солверов. Обобщенный вычислительный эксперимент позволяет получить численное решение для класса задач, определяемых диапазонами изменения определяющих параметров. Анализ результатов, представленных в виде многомерных массивов, где количество измерений определяется размерностью пространства определяющих параметров, требует применения инструментов научной визуализации и визуальной аналитики. Обсуждаются подходы к применению обобщенного вычислительного эксперимента при наличии эталонного решения и в его отсутствие. Приведен пример построения поверхностей ошибок при сравнении решателей программного пакета OpenFOAM. В качестве основной используется классическая задача невязкой косой ударной волны. Рассмотрены вариации основных параметров задачи – числа Маха и угла атаки. Также рассматривается пример задачи обтекания конуса под углом атаки с изменяющимся числом Маха, углом конуса и углом атаки. Вводится понятие индекса ошибки как интегральная характеристика отклонений от точного решения для каждого решателя в рассматриваемом классе задач.
Идентификаторы и классификаторы
На протяжении всей истории развития вычислительной математики и математического моделирования проблемы верификации численных методов занимали особое место. При создании или модификации численного метода авторам необходимо было показать эффективность своих разработок и оценить их точность. Этим исследованиям посвящено огромное количество работ. В качестве примера можно указать на классические работы [1–19], рассматривающие различные аспекты оценки точности и верификации. Оценка точности численного метода была и по сей день является обязательной частью исследований в области математического моделирования физических процессов.
Как правило, сравнение численных результатов проводится с некоторым референтным (эталонным) решением, в роли которого используют точное решение, если таковое имеется, или имеющиеся экспериментальные данные. Отдельной проблемой является оценка точности численных методов при отсутствии эталонного решения.
Список литературы
- Skeel R. Thirteen ways to estimate global error // Numerische Mathematik. 1986. V. 48. P. 1-20.
- Roy C.J., Oberkampf W.L. A comprehensive framework for verification, validation, and uncertainty quantification in scientific computing // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2011. V. 200. № 25-28. P. 2131-2144.
- Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter., 2008. V. 4.
- Repin S. A unified approach to a posteriori error estimation based on duality error majorants // Mathematics and Computers in Simulation. 1999. V. 50. № 1-4. P. 305-321. EDN: LFERLL
- Repin S., Frolov M. A posteriori error estimates for approximate solutions of elliptic boundary value problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2002. V. 42. № 12. P. 1704-1716. EDN: SSAEIV
- Synge J.L. The Hypercircle in Mathematical Physics. London: CUP., 1957.
- Oden J., Prudhomme S. Goal-oriented error estimation and adaptivity for the finite element method // Computers and Mathematics with Appl. 2001. V. 41. P. 735-756. EDN: AMGSCV
- Prudhomme S., Oden J. On goal-oriented error estimation for elliptic problems: Application to the control of pointwise errors // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. V. 176. P. 313-331. EDN: ADHKNB
- Ainsworth M., Oden J. A posteriori error estimation in finite element analysis. N.Y.: Wiley-Interscience, 2000.
-
Carpenter M., Casper J. Accuracy of shock capturing in two spatial dimensions // AIAA Journal. 1999. V. 37. № 9. P. 1072-1079. DOI: 10.2514/2.835
-
Babuska I., Osborn J. Can a finite element method perform arbitrarily badly? // Mathematics of Computation of the American Mathematical Society. 2000. V. 69. № 230. P. 443-462.
-
Godunov S.K., Manuzina Yu.D., Nazareva M.A. Experimental analysis of convergence of the numerical solution to a generalized solution in fluid dynamics // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2011. V. 51. P. 88-95. EDN: OIBXML
-
Linss T., Kopteva N. A Posteriori Error Estimation for a Defect-Correction Method Applied to Convection-Diffusion Problems // Int. J. of Numerical Analysis and Modeling. 2009. V. 1. № 1. P. 1-16. EDN: MYDYRJ
-
Shokin Yu.I. Method of differential approximation. Springer-Verlag, 1983.
-
Banks J., Hittinger J., Woodward C. Numerical error estimation for nonlinear hyperbolic PDEs via nonlinear error transport // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. V. 213. P. 1-15. DOI: 10.1016/j.cma.2011.11.021
-
Rauser F., Marotzke J., Korn P. Ensemble-type numerical uncertainty quantification from single model integrations // Journal Comp. Physics. 2015. V. 292. P. 30-42. DOI: 10.1016/j.jcp.2015.02.043
-
Johnson C. On computability and error control in CFD // International J. for Numerical Methods in Fluids. 1995. V. 20. P. 777-788. DOI: 10.1002/fld.1650200806
-
Babuska I., Rheinboldt W. A posteriori error estimates for the finite element method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. V. 12. P. 1597-1615. DOI: 10.1002/nme.1620121010
-
Roy Ch., Raju A. Estimation of discretization errors using the method of nearby problems // AIAA Journal. 2007. V. 45. № 6. P. 1232-1243. DOI: 10.2514/1.24282
-
Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulations, American Institute of Aeronautics and Astronautics, AIAA-G-077-1998, Reston, VA, 1998.
-
Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer, ASME V&V 20-2009, 2009.
-
Federal standard P 57700.12-2018. Numerical simulation of supersonic flows for an inviscid gas. Software verification. National standard of the Russian Federation for numerical modeling of physical processes, 2018.
-
Richardson L.F. The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems Involving Differential Equations with an Application to the Stresses in a Masonry Dam // Transactions of the Royal Society of London, Series A. 2010. V. 1908. P. 307-357.
-
Roy Ch.J. Grid Convergence Error Analysis for Mixed -Order Numerical Schemes // AIAA Journal. 2003. V. 41. № 4. P. 595-604.
-
Phillips Tyrone S., Roy Christopher J. Richardson Extrapolation-based Discretization Uncertainty Estimation for Computational Fluid Dynamics // ASME Journal of Fluids Engineering. 2014. V. 136. № 12. 121401.
-
Ortner C. A Posteriori Existence in Numerical Computations // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2009. V. 47. № 4. P. 2550-2577.
-
Chernyshenko S.I., Constantin P., Robinson J.C., Titi E.S. A posteriori regularity of the three-dimensional Navier-Stokes equations from numerical computations // J. of Mathematical Physics. 2007. V. 48. 065204.
-
Bondarev A. Analysis of space-time flow structures by optimization and visualization methods // Transactions on Computational Science XIX, Lecture Notes in Computer Science. 2013. V. 7870. P. 158-168. EDN: RFPWXR
-
Bondarev A., Galaktionov V. Parametric optimizing analysis of unsteady structures and visualization of multidimensional data // International Journal of Modeling, Simulation and Scientific Computing 04 (Supp. 01). 2013.
-
Bondarev A. On the construction of the generalized numerical experiment in fluid dynamics // Mathematica Montisnigri XLII. 2018. P. 52-64.
-
Bondarev A. On visualization problems in a generalized computational experiment // Scientific Visualization. 2019. V. 11. № 2. P. 156-162. DOI: 10.26583/sv.11.2.12 EDN: RNJFRA
-
Bondarev A., Kuvshinnikov A. Analysis of the accuracy of OpenFOAM solvers for the problem of supersonic flow around a cone // Lecture Notes in Computer Science. 2018. V. 10862. P. 221-230. DOI: 10.1007/978-3-319-93713-7_18 EDN: YBSSVV
-
Bondarev A. On the estimation of the accuracy of numerical solutions in CFD problems // LNCS. 2019. V. 11540. P. 325-333. DOI: 10.1007/978-3-030-22750-0_26 EDN: IJMETC
-
Bondarev A., Galaktionov V. Generalized computational experiment and visual analysis of multidimensional data // Scientific Visualization. 2019. V. 11. № 4. P. 102-114. DOI: 10.26583/sv.11.4.09 EDN: DNZGLY
-
Alekseev A., Bondarev A., Galaktionov V., Kuvshinnikov A. On the construction of a generalized computational experiment in verification problems // Matematica Montisnigri XLVIII.
-
OpenFOAM Foundation. http://www.openfoam.org. last accessed 2021/01/08.
-
Alekseev A., Bondarev A. On exact solution enclosure on ensemble of numerical simulations // Mathematica Montisnigri XXXVIII. 2017. P. 63-77.
-
Alekseev A., Bondarev A., Kuvshinnikov A. Verification on the ensemble of independent numerical solutions // LNCS. 2019. V. 11540. P. 315-324. DOI: 10.1007/978-3-030-22750-0_26 EDN: FFETLA
-
Alekseev A., Bondarev A. Estimation of the distance between true and numerical solutions // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019. V. 59. № 6. P. 857-863. DOI: 10.1134/S0965542519060034 EDN: DWHUCY
-
Alekseev A., Bondarev A., Kuvshinnikov A. On uncertainty quantification via the ensemble of independent numerical solutions // Journal of Computational Science. 2020. V. 42. 101114. DOI: 10.1016/j.jocs.2020.101114 EDN: WUZKJG
-
Alekseev A., Bondarev A., Kuvshinnikov A. Comparative analysis of the accuracy of OpenFOAM solvers for the oblique shock wave problem // Mathematica Montisnigri XLV. 2019. P. 95-105. DOI: 10.20948/mathmontis-2019-45-8
-
Bondarev A., Kuvshinnikov A. Parametric study of the accuracy of OpenFOAM solvers for the oblique shock wave problem // IEEE Proceedings of the 2019 Ivannikov ISPRAS Open Conference 2019. P. 108-112. DOI: 10.1109/ISPRAS47671.2019.00023 EDN: ZQRKUU
-
Bondarev A.E., Galaktionov V.A. Multidimensional data analysis and visualization for time-dependent CFD problems // Programming and Computer Software. 2015. V. 41. № 5. P. 247-252. DOI: 10.1134/S0361768815050023 EDN: UZYVYZ
-
Andreev S.V., Bondarev A.E., Bondarenko A.V., Vizilter Yu.V., Galaktionov V.A., Gudkov A.V., Zheltov S.Yu., Zhukov V.T., Ilovaiskaya E.B., Knyaz V.A., Manukovskii K.V., Novikova N.D., Ososkov M.V., Silaev N.Zh., Feodoritova O.B. A Computational Technology for Constructing the Optimal Shape of a Power Plant Blade Assembly Taking into Account Structural Constraints // Programming and Computer Software. 2017. V. 43. № 6. P. 345-352. DOI: 10.1134/S0361768817060020 EDN: XXEGKL
-
Bondarev A.E., Galaktionov V.A., Kuvshinnikov A.E. Parallel Solutions of Parametric Problems in Gas Dynamics Using DVM/DVMH Technology // Programming and Computer Software. 2020. V. 46. № 3. P. 176-182. DOI: 10.1134/S0361768820030032 EDN: YQSXWP
-
Kurganov A., Tadmor E. New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection-diffusion equations // Journal of Computational Physics. 2000. V. 1. P. 241-282. DOI: 10.1006/jcph.2000.6459 EDN: LTVUAN
-
Greenshields C., Wellerr H., Gasparini L., Reese J. Implementation of semi-discrete, non-staggered central schemes in a colocated, polyhedral, finite volume framework, for high-speed viscous flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2010. V. 63. № 1. P. 1-21. DOI: 10.1002/fld.2069 EDN: OCGUCP
-
Issa R. Solution of the implicit discretized fluid flow equations by operator splitting // Journal of Computational Physics. 1986. V. 66. № 1. P. 40-65. DOI: 10.1016/0021-9991(86)900999
-
Kraposhin M., Bovtrikova A., Strijhak S. Adaptation of Kurganov-Tadmor numerical scheme for applying in combination with the PISO method in numerical simulation of flows in a wide range of Mach numbers // Procedia Computer Science. 2015. V. 66. P. 43-52. DOI: 10.1016/j.procs.2015.11.007 EDN: WSRTZD
-
Kraposhin M., Smirnova E., Elizarova T., Istomina M. Development of a new OpenFOAM solver using regularized gas dynamic equations // Computers & Fluids. 2018. V. 166. P. 163-175. DOI: 10.1016/j.compfluid.2018.02.010 EDN: XYAUKL
-
Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Любимов A.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М.: Наука, 1964, 505 с.
Выпуск
Другие статьи выпуска
Подавление артефактов ложного оконтуривания на изображениях (эффектов ложного оконтуривания, англ. ringing) – это распространенная задача области восстановления изображений. Осцилляции Гиббса возникают из-за методики визуализации изображений магнитно-резонансной томографии, при которой исходные данные, поступающие в частотной области, отображаются в пространственную область с помощью дискретного преобразования Фурье. Появление осцилляций Гиббса обусловлено неполнотой получаемой информации, связанной в том числе с обрезкой высоких частот Фурье-спектра. В данной статье предлагается гибридный метод подавления артефактов ложного оконтуривания на изображениях магнитно-резонансной томографии, заключающийся в объединении моделей глубокого машинного обучения и классического необучаемого алгоритма подавления осцилляций Гиббса, основанного на поиске оптимальных субпиксельных сдвигов.
В работе рассматривается задача заполнения областей изображений. В последние годы эта область стремительно развивалась, новые нейросетевые методы показывают впечатляющие результаты, однако большинство нейросетевых подходов сильно зависят от разрешения, на котором их обучали. Незначительное увеличение разрешения приводит к серьезным артефактам и неудовлетворительному результату заполнения, из-за чего подобные методы не применимы в средствах интерактивной обработки изображений. В этой статье мы представляем метод, позволяющий решить проблему заполнения областей изображений разного разрешения. Мы также описываем способ более качественного восстановления текстурных фрагментов в заполняемой области. Для этого мы предлагаем использовать информацию из соседних пикселей путем сдвига исходного изображения в четырех направлениях. Предлагаемый подход применим к уже существующим методам без необходимости их переобучения.
Классическая трассировка лучей методом Монте-Карло – это мощный метод, позволяющий моделировать практически все эффекты в лучевой оптике, но он может быть недопустимо медленным для многих случаев, таких как, например, вычисление изображений, видимых объективом или камерой с точечным отверстием. Поэтому часто используются его различные модификации, в частности, двунаправленная стохастическая трассировка лучей с фотонными картами. Недостатком всех стохастических методов является нежелательный шум. Уровень шума, то есть дисперсия яркости пикселей, рассчитанной за одну итерацию метода, зависит от различных параметров, таких как количество лучей от источника света и от камеры, способ слияния их траекторий, радиус интегрирующей сферы и т.д. Выбор оптимальных параметров позволит получить минимальный уровень шума при данном времени расчета. Данной проблеме и посвящена эта статья. Показано, что дисперсия яркости пикселя представляет собой сумму трех функций, масштабируемых обратным числом лучей из источника и из камеры, причем сами эти функции не зависят от количества лучей. Поэтому, зная их, можно предсказать шум для любого количества лучей и, таким образом, найти оптимальный вариант. Вычисление этих функций на основе полученных в трассировке лучей данных является нетривиальной задачей. В статье приведен практический метод их расчета и продемонстрировано, что по результатам всего одного пробного расчета можно предсказать дисперсию для произвольного числа лучей. Таким образом, становится возможным минимизация шума благодаря выбору оптимального числа лучей.
Данная работа посвящена исследованию методов фотонных карт для решения проблемы реалистичного рендеринга. В отличие от традиционных методов рендеринга основой для расчета яркости вторичного и каустического освещений являются обратные фотонные карты или карты наблюдения. Представлены основные преимущества метода обратных фотонных карт, которые заключаются, во-первых, в естественном распределении фотонов в областях, формирующих яркость изображения, а во-вторых, в уменьшении числа фотонов, формируемых на трассе одного луча. Рассмотрена основная алгоритмическая сложность метода обратных фотонных карт, заключающаяся в необходимости синхронизации данных при расчете и накоплении яркости вторичного и каустического освещений. Для решения данной проблемы авторы предлагают использовать промежуточные прямые фотонные карты вторичного и каустического освещения, распределенные по вычислительным потокам, выполняющими рендеринг соответствующих участков изображения. На основе проведенных исследований вводится метод прогрессивных обратных фотонных карт и описывается алгоритм реалистичного рендеринга, основанный на методе прогрессивных обратных фотонных карт. Разработанный алгоритм не требует дополнительной синхронизации при накоплении яркости в точках изображения, что позволяет эффективно реализовать его не только с использованием ресурсов центрального процессора, но и на графическом процессоре. Представлены результаты качественного и количественного сравнения результатов рендеринга методами прогрессивных прямых и обратных фотонных карт.
В статье предлагаются новые технология и методы реализации панорамного видео с обзором 360 градусов, основанные на проекции виртуального окружения на правильный додекаэдр. Идея состоит в построении виртуальной панорамы, наблюдаемой зрителем, из прямоугольных снимков виртуального пространства, имитирующих внутреннюю поверхность додекаэдра. Разработан метод вычисления параметров проекции и ориентации 12 камер додекаэдра, основанный на геометрии “золотых прямоугольников”, метод и алгоритмы синтеза кадра 360-видео, основанные на оригинальной схеме упаковки пентагонов, а также метод и алгоритм визуализации прямоугольных снимков, обеспечивающий синтез непрерывной виртуальной панорамы. Предложенные решения реализованы в программном комплексе и апробированы на примере задачи визуализации полета по орбите МКС над земной поверхностью. Результаты исследования могут быть применены в системах виртуального окружения, видеосимуляторах, научной визуализации, виртуальных лабораториях, образовательных приложениях, видеоинструкциях и др.
Статья посвящена вопросам автоматизации процесса создания автономных модулей научной визуализации на базе систем на кристалле с настраиваемым осязаемым пользовательским интерфейсом. Такие модули могут быть использованы в роли интерактивных экспонатов в рамках концепции так называемых умных музеев. Ключевой идеей автоматизации является генерация итогового программного обеспечения средствами онтологически управляемой платформы SciVi. В рамках этой платформы путем расширения управляющих онтологий организована поддержка генерации кода для систем на кристалле Raspberry Pi и Orange Pi. Алгоритм работы генерируемого программного обеспечения описывается в платформе SciVi высокоуровневым образом при помощи диаграмм потоков данных. При этом научная визуализация имеет аппаратную поддержку через графический API OpenGL ES, а поддержка осязаемого пользовательского интерфейса обеспечивается подключением специализированных библиотек и средств операционной системы для взаимодействия с внешними периферийными устройствами. Эффективность предложенных методов и средств подтверждена на практике при разработке нескольких кибер-физических экспонатов для выставки “Превращения” в Детском музейном центре, филиале Пермского краеведческого музея (г. Пермь).
В статье освещается подход на основе технологии машинного обучения, который представляет особый интерес для локализации и определения характеристик как одноочаговых стенозов, так и многососудистых, многоочаговых поражений. В связи со сложностью анализа большого количества данных клиницистом/кардиохирургом, в исследовании большое внимание уделено анализу, обучению и сравнению популярных детекторов для классификации и локализации очагов стеноза на данных коронарной ангиографии. Полный набор данных был собран в НИИ Комплексных проблем сердечно-сосудистых заболеваний на основе исследования коронарографии, среди которых ретроспективно выбраны данные 100 пациентов. Для автоматизированного анализа медицинских данных, в статье подробно рассмотрены 3 модели (SSD MobileNet V1, Faster-RCNN ResNet-50 V1, Faster-RCNN NASNet), которые варьировались по архитектуре, сложности и количеству весов. Приведено сравнение моделей по основным характеристикам эффективности: точность, время обучения и время предсказания. Результаты тестирования показали, что время обучения/предсказания прямо пропорционально сложности модели. Так, наименьшее время предсказания показала модель Faster-RCNN NASNet (среднее время обработки одного изображения составило 880 мс). Что касается точности, то наибольшая точность предсказания была получена моделью Faster-RCNN ResNet-50 V1. Данная модель достигла уровня 0.92 метрики mAP на валидационном наборе данных. С другой стороны, наиболее быстрой оказалась модель SSD MobileNet V1, которая способна выполнять предсказания с частотой предсказания 23 кадра в секунду.
Издательство
- Издательство
- ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- Юр. адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- ФИО
- Николай Николаевич Федосеенков (Директор)
- E-mail адрес
- info@naukapublishers.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 2767735