Книга: Уравнения математической физики

Скачать

Пусть в пространстве E2 задана некоторая функция u(x, y), имеющая частные производные второго порядка (причем uxy = uyx). Тогда общим уравнением в частных производных называется уравнение: F (x, y, u, ux, uy , uyy , uxx, uxy ) = 0, где F – некоторая функция. Его частным случаем является так называемое квазилинейное уравнение: a11(x, y, u, ux, uy )uxx + 2a12(x, y, u, ux, uy )uxy + a22(x, y, u, ux, uy )uyy + F1(x, y, u, ux, uy ) = 0.

Нас будут интересовать уравнения, линейные относительно старших производных, то есть, когда функции a11, a12, a22 зависят только от переменных x, y: a11(x, y)uxx + 2a12(x, y)uxy + a22(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy ) = 0. Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uyy , uxy , так и относительно функции u и ее первых производных: a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu + f = 0, (1.1) где a11, a12, a22, b1, b2, c, f – функции только от x и y.