Книга: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы

Скачать

В работе рассматривается вопрос об отыскании асимптотически наилучших способов численного интегрирования.

Будем называть узлами интегрирования точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции или ее производных. Количество узлов, необходимое для вычисления интеграла с заданной точностью, не может считаться единственной мерой трудоемкости данного способа интегрирования.

В каждом конкретном случае возможно значительное уменьшение этого числа за счет различных аналитических преобразований исходной задачи. Однако может оказаться, что это уменьшение не окупает затрат, связанных с проведением аналитических преобразований и увеличением числа действий при вычислении каждого значения подынтегральной функции. С другой стороны, отыскание минимального по объему затрат способа решения каждой конкретной задачи с нужной точностью представляется очень трудным.

Такой способ решения зависит от индивидуальных возможностей исследователя, решающего задачу, и насколько рационально и разнообразно решение, различные для различных исследователей, и за счет чего достигается это решение. В число оцениваемых затрат нужно входить, например, оплата труда исследователя, стоимости машины, программ и т. д. Поэтому для четкой постановки задачи о наилучшем способе решения необходимо точное разграничение возможностей и определение кругов рассматриваемых задач.

Рассмотрим одну из возможных постановок задачи об отыскании наилучшего способа интегрирования.