Архив статей журнала
В недавней работе одного из авторов, опубликованной в журнале «Lobachevskii Journal of Mathematics» (2024. Vol. 45, №1. С. 376-382), методом монотонных операторов были доказаны глобальные теоремы об однозначной разрешимости различных классов нелинейных интегральных уравнений со степенным суммарным ядром в пространствах Лебега. Однако эти теоремы не содержат никакой информации о том, как можно найти решения. В данной работе в вещественном гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций, комбинированием метода потенциальных монотонных операторов и принципа сжимающих отображений, подробно доказано, что решения этих уравнений можно найти методом последовательных приближений. Для последовательных приближений даны оценки скорости их сходимости к точному решению. При этом используется идея одной работы Браудера-Петришина замены исходного уравнения на эквивалентное уравнение с произвольным параметром, последующий выбор которого позволяет применить принцип сжимающих отображений. Полученные результаты охватывают также и случай соответствующих линейный интегральных уравнений. Доказательства основаны не на обращении линейного интегрального оператора, входящего в рассматриваемые уравнения, а на обращении нелинейного функционального оператора суперпозиции.
В данной работе исследуются специальные интегро-дифференциальные уравнения с особенностью по фазовой переменной на предмет существования и единственности решения задачи Коши. Для доказательства существования и единственности решения задачи Коши для исходных специальных интегро-дифференциальных уравнений с особенностью по фазовой переменной используется замена, приводящая исходное уравнение к другому интегро-дифференциальному уравнению с неизвестной функцией, для которой и строится процесс Пикара, что позволяет доказать существование и единственность задачи Коши для полученного интегро-дифференциального уравнения. В свою очередь это позволяет доказать и существование и единственность исходной краевой задачи.