Ранее в наших работах было предложено в задачах веерной томографии применять методы перевода пучка веерных лучей в набор параллельных лучей. Это достигалось специальной деформацией искомой томограммы на этапе обратного проецирования измеренных и отфильтрованных проекций, с последующей операцией обратной деформации. Деформация томограммы для каждого направления наблюдения будет своя, но взаимно-однозначный характер этих деформаций позволяет вернуться к исходной системе координат. В данной работе этот метод обобщен на семейство плоских криволинейных траекторий, позволяющих взаимно-однозначные переходы к параллельным лучам. Для каждой обратной проекции изображение оказывается промодулировано известной функцией, следующей из уравнения дифференциала пути заданной траектории. Результаты обобщения широко распространенного в методах двумерной томографии алгоритма FBP демонстрируются на примерах параболической, синусоидальной и веерной траекторий лучей.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 48219132
Применение методов современной математической обработки экспериментов в физических исследованиях активно увеличивается как благодаря развитию новых областей математики, так и созданию более эффективных вычислительных методов и алгоритмов. Примером успешного развития приложений в прикладной математике является быстрое распространение методов решения задач вычислительной томографии [1, 2]. Наиболее развиты такие методы в тех задачах, где удается регистрировать проходящее сквозь объект излучение по прямолинейным траекториям, когда эффекты рефракции или дифракции пренебрежимо малы.
Двумерное интегральное преобразование Радона (RT — Radon transform) позволяет по набору интегралов от неизвестной функции по прямым линиям на плоскости определять неизвестную функцию, вписанную в единичный круг. В практических приложениях это преобразование нашло широкое применение в физической томографии, рентгеновской томографии в медицине, а также в широком круге задач обработки изображений [3]. Преобразование Радона по прямым линиям дает возможность автоматически выделять на фотографиях прямые линии (с помощью преобразования Хафа, основанного на RT [3]), а необходимость выделения структур, отличных от прямолинейных, ставит задачу обобщения RT на криволинейные траектории.
В последние годы все большее внимание уделяется конкретным криволинейным лучевым траекториям — параболам, гиперболам, дугам окружности [4–11]. В этих работах часто применяются различные методы параметризации кривых, а в некоторых случаях требуется какая-либо особая симметрия у искомого изображения, например вертикальная, как это используется для эллиптического и параболического преобразований Радона [8, 9]. Новая область томографии по комптоновскому рассеянию также приводит к задачам с использованием дуг окружностей [12].
Список литературы
- F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography (Teubner, Stuttgart, 1986; Mir, Moscow, 1990).
- S. Helgason, The Radon Transform (Birkhäuser, Boston, 1980; Mir, Moscow, 1983).
- S. R. Deans, The Radon Transform and Some of Its Applications (Wiley, New York, 1983).
- G. Ambartsoumian and P. Kuchment, “A Range Description for the Planar Circular Radon Transform”, SIAM J. Math. Anal. 38 (2), 681-692 (2006). DOI: 10.1137/050637492 EDN: XUBLQI
- M. Eller, P. Hoskins, and L. Kunyansky, “Microlocally Accurate Solution of the Inverse Source Problem of Thermoacoustic Tomography”, Inverse Probl. 36 (8) (2020). DOI: 10.1088/1361-6420/ab9c46 EDN: CJFIRI
- V. V. Nikitin, F. Andersson, M. Carlsson, and A. A. Duchkov, “Fast Hyperbolic Radon Transform Represented as Convolutions in Log-Polar Coordinates”, Comput. Geosci. 105, 21-33 (2017). DOI: 10.1016/j.cageo.2017.04.013 EDN: OTNTBN
- J. Tasinkevych and I. Trots, “Circular Radon Transform Inversion Technique in Synthetic Aperture Ultrasound Imaging: An Ultrasound Phantom Evaluation”, Arch. Acoust. 39 (4), 569-582 (2014). DOI: 10.2478/aoa-2014-0061
- S. Moon and J. Heo, “Inversion of the Elliptical Radon Transform Arising in Migration Imaging Using the Regular Radon Transform”, J. Math. Anal. Appl. 436 (1), 138-148 (2016). DOI: 10.1016/j.jmaa.2015.11.043
- S. Moon, “Inversion of the Seismic Parabolic Radon Transform and the Seismic Hyperbolic Radon Transform”, Inverse Probl. Sci. Eng. 24 (2), 317-327 (2016). DOI: 10.1080/17415977.2015.1025071
-
F. Monard, "Functional Relations, Sharp Mapping Properties, and Regularization of the X-Ray Transform on Disks of Constant Curvature", SIAM J. Math. Anal. 52 (6), 5675-5702 (2020). DOI: 10.1137/20M1311508 EDN: CXIGAN -
C. Grathwohl, P. Kunstmann, E. T. Quinto, and A. Rieder, "Microlocal Analysis of Imaging Operators for Effective Common Offset Seismic Reconstruction", Inverse Probl. 34 (11) (2018). DOI: 10.1088/1361-6420/aadc2a -
C. Tarpau, J. Cebeiro, M. K. Nguyen, et al., "Analytic Inversion of a Radon Transform on Double Circular Arcs with Applications in Compton Scattering Tomography", IEEE Trans. Comput. Imaging 6, 958-967 (2020). DOI: 10.1109/TCI.2020.2999672 -
V. V. Pickalov, D. I. Kazantzev, and V. P. Golubyatnikov, "The Central Slice Theorem Generalization for a Fan-Beam Tomography", Vychisl. Metody Programm. 7, № 2. 180-184 (2006). https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/206. EDN: HUYBXJ -
V. V. Pickalov and D. I. Kazantzev, "Iterative Restoration of Radon-Space Sinogram Disturbances for the Steganography Problem", Vychisl. Metody Programm. 9, № 1. 1-9 (2008). https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/289. EDN: JUBENH -
D. Kazantsev and V. Pickalov, "New Iterative Reconstruction Methods for Fan-Beam Tomography", Inverse Probl. Sci. Eng. 26 (6), 773-791 (2017). DOI: 10.1080/17415977.2017.1340946 EDN: XXSFOP -
A. C. Kak and M. Slaney, Principles of Computerized Tomographic Imaging (IEEE Press, New York, 1988). -
B. K. Vainshtein, "Three-Dimensional Electron Microscopy of Biological Macromolecules", Usp. Fiz. Nauk 109 (3), 455-497 (1973) [Sov. Phys. Usp. 16 (2), 185-206 (1973)]. DOI: 10.1070/PU1973v016n02ABEH005164 -
E. I. Vainberg, I. A. Kazak, and M. L. Faingoiz, "X-Ray Computerized Back Projection Tomography with Filtration by Double Differentiation. Procedure and Information Features", Defektoskopiya, No. 2, 31-39 (1985) [Sov. J. Nondestruct. Test. 21 (2), 106-113 (1985)]. -
A. Faridani, D. V. Finch, E. L. Ritman, and K. T. Smith, "Local Tomography II", SIAM J. Appl. Math. 57 (4), 1095-1127 (1997). DOI: 10.1137/S0036139995286357 -
I. Yu. Kulakov, D. A. Vologin, and V. V. Pickalov, "A Multigrid Algorithm for the Fan-Beam ROI-Tomography of Contrast Objects", Vychisl. Metody Programm. 14 (4), 543-548 (2013). https://en.num-meth.ru/index.php/journal/article/view/665. EDN: RRWJNB -
E. Yu. Derevtsov and V. V. Pickalov, "Reconstruction of Vector Fields and Their Singularities from Ray Transforms", Sib. Zh. Vych. Mat. 14 (1), 29-46 (2011) [Numer. Anal. Appl. 4 (1), 21-35 (2011).]. DOI: 10.1134/S1995423911010034 EDN: NDOPBD -
J. W. Webber, E. T. Quinto, and E. L. Miller, "A Joint Reconstruction and Lambda Tomography Regularization Technique for Energy-Resolved X-Ray Imaging", Inverse Probl. 36 (7) (2020). DOI: 10.1088/1361-6420/ab8f82 -
V. V. Pickalov, "Tomography Problems for Media with Low Refraction", AIP Conf. Proc. 2288 (1) (2020). DOI: 10.1063/5.0028741 EDN: LHETPT -
V. V. Pickalov, "Approximate Filtered Back-Projection Algorithm for Plane Curves in Tomography Problems", J. Phys. Conf. Ser. 1715 (1) (2021). DOI: 10.1088/1742-6596/1715/1/012039 EDN: NZOKGR
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Параллельные программные средства и технологии.
Другие статьи выпуска
Рассмотрены подходы к моделированию многофазных потоков в нефтяном коллекторе при фиксировании рабочего давления на зонах перфорации активных скважин. Предложенный численный метод основан на неявном расчете давления и явном пересчете насыщенностей фаз в ячейках сетки на каждом временн´ом шаге. Представлено описание математической модели, общей вычислительной схемы, конечноэлементной аппроксимации поля давления. Для сохранения консервативности потоков смеси используется специальный метод балансировки, приводится его алгоритм. Проведены исследования на задаче сравнительного проекта SPE-10, для которой расчет потоков на зонах перфорации скважин при фиксированном давлении выполнялся с использованием двух подходов.
The convection-diffusion equation with dominant convection is considered on a uniform grid of central difference scheme. The multigrid method is used for solving the strongly nonsymmetric systems of linear algebraic equations with positive definite coefficient matrices. Two-step skew-Hermitian iterative methods are utilized for the first time as a smoothing procedure. It is demonstrated that using the proper smoothers enables to improve the convergence of the multigrid method. The robustness of the smoothers with respect to variation of the Peclet number is shown by local Fourier analysis and numerical experiments.
В работе рассматривается численная реализация метода обращения полного волнового поля на основе асимптотического решения уравнения Гельмгольца. Классическая постановка задачи заключается в поиске минимума штрафной функции, характеризующей среднеквадратичное уклонение модельных данных от зарегистрированных при проведении полевых работ. Для минимизации целевого функционала обычно применяются методы локальной оптимизации, такие как метод сопряженных градиентов. Именно вычисление градиента штрафной функции и является самой ресурсоемкой частью задачи. Асимптотический подход к решению обратной динамической задачи сейсмики заключается в замене дорогостоящей конечно-разностной процедуры расчета функции Грина краевой задачи частотно-зависимым лучевым трассированием. Функции Грина рассчитываются на основании данных о времени пробега вдоль лучей, об амплитуде и о геометрическом расхождении. Серия численных экспериментов для широкоизвестной модели Marmousi демонстрирует эффективность применения такого подхода к реконструкции макроскоростного строения сложноустроенных сред для низких временных частот. При сопоставимом качестве решения обратной задачи применительно к стандартному конечно-разностному подходу скорость расчетов асимптотического метода на порядок выше.
Рассматриваются программы, выполняемые на видеокартах общего назначения и представленные в виде “ядер”, не содержащих циклов с неопределенной продолжительностью. Такие ядра могут быть реализованы, например, с помощью технологий CUDA или OpenCL. Для оценки времени работы подобных программ предложены модели их работы: от совсем “наивной” до более реалистичных. Все они формулируются как матричные выражения в max-plus-алгебре.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/