Статья: ПРОЦЕДУРЫ ПОИСКА УСЕЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ И УСЕЧЕННЫМИ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ В РОЛИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (2021)

На основе рекуррентных формул Ньютона приведен алгоритм построения результанта двух целых функций, что является одним из методов исключения неизвестных для систем неалгебраических уравнений. Алгоритм реализован в системе компьютерной алгебры Maple. Приведены примеры, демонстрирующие работу данного алгоритма.

В последнее время на место основного языка научных и инженерных расчетов выдвигается язык Julia. У ряда пользователей возникает желание работать полностью внутри “экосистемы” Julia, подобно тому, как происходит работа в “экосистеме” Python. Для Julia существуют библиотеки, покрывающие большинство потребностей научно-инженерных расчетов. Перед авторами возникла необходимость использовать символьные вычисления для задач математического моделирования. Поскольку основным языком реализации численных алгоритмов мы выбрали язык Julia, то и задачи компьютерной алгебры хотелось бы решать на этом же языке. Авторы выделили основные функциональные области, задающие разные варианты применения систем компьютерной алгебры. В каждой из областей нами выделены наиболее характерные представители систем компьютерной алгебры на Julia. В результате авторы делают вывод, что в рамках “экосистемы” Julia возможно (и даже удобно) использовать системы компьютерной алгебры.

Рассматривается поведение квантовой запутанности в процессе унитарной эволюции в конструктивных моделях многокомпонентных квантовых систем. Описываются группы симметрий квантовых систем, допускающих возникновение геометрических структур, ассоциированных с квантовой запутанностью. Алгоритмы моделирования динамики квантовой запутанности основаны на методах компьютерной алгебры и вычислительной теории групп. Приводятся примеры конкретных вычислений.

В статье предложены два наиболее простых метода определения положений равновесия спутника, движущегося в центральном ньютоновом силовом поле по круговой орбите под действием гравитационного момента. В первом методе применялись подходы линейной алгебры, во втором алгоритмы компьютерной алгебры. Положения равновесия спутника в орбитальной системе координат при заданных значениях главных центральных моментов инерции определяются корнями системы нелинейных алгебраических уравнений. Для определения равновесных решений проводилась декомпозиция системы алгебраических уравнений с применением методов линейной алгебры и алгоритмов построения базисов Гребнера. Положения равновесия спутника определялись путем исследования числа действительных корней алгебраических уравнений из полученных базисов Гребнера. С использованием предложенного подхода показано, что спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите 24 положения равновесия.

Факторизация полиномов – классическая алгоритмическая проблема алгебры, имеюшая широкий спектр приложений. Особый интерес представляет факторизация над конечными полями, среди которых поле порядка два является, вероятно, наиболее важным в связи с представлением булевых функций полиномами Жегалкина. В частности, факторизация булевых полиномов соответствует конъюнктивной декомпозиции булевых функций, заданных в алгебраической нормальной форме. Кроме того, факторизация дает решение проблемы декомпозиции функций, заданных в СДНФ и позитивных ДНФ, а также декартовой декомпозиции реляционых данных. Эти приложения демонстрируют важность разработки быстрых алгоритмов факторизации. В статье мы рассматриваем некоторые недавно предложенные алгоритмы факторизации полиномиальной сложности и описываем параллельную MIMD-реализацию, которая использует как параллелизм уровня задачи, так и параллелизм уровня данных. Мы представляем эксперименты, выполненные на бенчмарках логического синтеза и на синтетических (случайных) полиномах, которые показывают значительное ускорение факторизации. В заключение представлены результаты тестирования параллельной реализации алгоритма на массивнопараллельной многоядерной архитектуре (Redefine).

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с невырожденной линейной частью в общем и гамильтоновом случаях ставится задача отыскания инвариантных координатных подпространств в координатах ее нормальной формы, вычисленной вблизи положения равновесия. Приведены условия существования таких инвариантных подпространств в терминах резонансных соотношений между собственными числами линейной части системы. Дан алгоритм поиска резонансных соотношений между собственными числами без их явного вычисления, который существенно использует методы компьютерной алгебры и q-аналог субрезультантов многочлена. Обсуждается его реализация в трех распространенных системах компьютерной алгебры – Mathematica, Maple и SymPy. Приведены содержательные модельные примеры.