Статья: АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЕМЕЙСТВА ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ РУНГЕ (2021)

Предложены эвристические вероятностные алгоритмы полиномиального времени с односторонней ошибкой для распознавания кубических гиперповерхностей, чьи сингулярные локусы не содержат никакого линейного подпространства достаточно большой размерности. Эти алгоритмы легко реализовать в системах компьютерной алгебры. Алгоритмы основаны на проверке условий, что гессиан кубической формы не обращается в нуль тождественно или не определяет конус в проективном пространстве. Проверка свойств гессиана, в свою очередь, выполнима вероятностными алгоритмами с односторонней ошибкой, основанными на лемме Шварца–Зиппеля.

Обсуждается проблема поиска равновесных состояний машины Атвуда, в которой шкив конечного радиуса заменяется двумя отдельными малыми шкивами и оба груза могут колебаться в вертикальной плоскости. Получены дифференциальные уравнения движения системы и вычислены их решения в виде степенных рядов по малому параметру. Показано, что в случае грузов одинаковой массы равновесное положение r=const системы существует только при одинаковых амплитудах и частотах колебаний грузов и сдвиге фаз α = 0 или α = π. Кроме того, возможно состояние динамического равновесия, когда оба груза совершают колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, а сдвиг фаз составляет α=±π/2. При этом длины маятников также совершают колебания около некоторого равновесного значения. Сравнение полученных результатов с соответствующими численными решениями уравнений движения подтверждает их корректность. Все необходимые вычисления выполняются с помощью системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Рассматривается задача построения начальных членов формальных лорановых рядов, являющихся решениями для заданной компоненты yk (1⩽k⩽m) вектора неизвестных y дифференциальной системы y′=Ay, где y=(y1,…,ym)T, A – m × m-матрица, элементами которой являются d-усечения формальных лорановых рядов, т.е. их начальные члены до степени d⩾0 включительно. Предлагается алгоритм решения задачи с использованием алгоритма TSLS (Truncated Series Laurent Solution). Строящиеся предлагаемым алгоритмом первые члены формальных лорановых решений для yk являются инвариантными относительно возможных продолжений элементов матрицы исходной системы.

Компьютерная алгебра все шире применяется в научных и прикладных вычислениях. В качестве примера приведем тензорные вычисления или в более широком смысле этого слова – упрощение выражений с индексами. В настоящей статье развивается метод цветных графов для упрощения абстрактных выражений с индексами на случай, когда индексы могут быть отнесены к нескольким различным типам. Примерами таких индексов могут быть верхние и нижние индексы в тензорных выражениях. Предложенный подход позволяет значительно уменьшить число перебираемых вариантов при поиске канонической формы выражения, что резко ускоряет процесс вычислений.

В исследовательских задачах, требующих применения численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто возникает необходимость выбора наиболее эффективного и оптимального для конкретной задачи численного метода. В частности, для решения задачи Коши, сформулированной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются методы Рунге–Кутты (явные или неявные, с управлением шагом сетки или без и т.д.). При этом приходится перебирать множество реализаций численного метода, подбирать коэффициенты или другие параметры численной схемы. В данной статье предложено описание разработанной авторами библиотеки и скриптов автоматизации генерации функций программного кода на языке Julia для набора численных схем методов Рунге–Кутты. При этом для символьных манипуляций использовано программное средство подстановки по шаблону. Предлагаемый подход к автоматизации генерации программного кода позволяет вносить изменения не в каждую подлежащую сравнению функцию по отдельности, а использовать для редактирования единый шаблон, что с одной стороны дает универсальность в реализации численной схемы, а с другой позволяет свести к минимуму число ошибок в процессе внесения изменений в сравниваемые реализации численного метода. Рассмотрены методы Рунге–Кутты без управления шагом, вложенные методы с управлением шагом и методы Розенброка также с управлением шагом. Полученные автоматически с помощью разработанной библиотеки программные коды численных схем протестированы при численном решении нескольких известных задач.

В работе исследуется задача символьного представления общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, заданными в символьном виде, при условии, что некоторые символьные константы могут обращаться в ноль. Кроме того, символьное представление собственных векторов матрицы коэффициентов системы не единственно. В работе на примере исследуемой системы показано, что стандартные процедуры компьютерной алгебры отыскивают конкретные символьные представления собственных векторов, игнорируя существование других символьных представлений собственных векторов. В свою очередь предлагаемые системой компьютерной алгебры собственные векторы могут быть непригодны для построения численных алгоритмов на их основе, что продемонстрировано в работе. Авторами предложен алгоритм отыскания различных символьных представлений собственных векторов символьно заданных матриц. В работе рассматривается конкретная система дифференциальных уравнений, полученная при исследовании решений уравнений Максвелла, однако предложенный алгоритм исследования применим к произвольной системе с нормальной матрицей коэффициентов.

В данной работе представлен алгоритм вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в точке по коэффициентам разностного уравнения и начальным данным задачи Коши методами компьютерной алгебры. В одномерном случае решение задачи Коши для разностного уравнения не представляет сложности, однако уже в двумерном случае число неизвестных растет на каждом шаге очень быстро. Для автоматизации процесса вычисления решения задачи Коши для двумерного разностного уравнения с постоянными коэффициентами в заданной точке в среде MATLAB был разработан алгоритм, где входными данными являются: матрица коэффициентов, полученная исходя из структуры двумерного полиномиального разностного уравнения; координаты точки, регламентирующей структуру матрицы начальных данных; координаты точки, регламентирующей размерность матрицы начальных данных; матрица начальных данных. Результатом работы алгоритма является решение задачи Коши для двумерного разностного уравнения, представляющее собой значение функции в искомой точке.