Статья: ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ В ТОЧКЕ (2021)

Предложены эвристические вероятностные алгоритмы полиномиального времени с односторонней ошибкой для распознавания кубических гиперповерхностей, чьи сингулярные локусы не содержат никакого линейного подпространства достаточно большой размерности. Эти алгоритмы легко реализовать в системах компьютерной алгебры. Алгоритмы основаны на проверке условий, что гессиан кубической формы не обращается в нуль тождественно или не определяет конус в проективном пространстве. Проверка свойств гессиана, в свою очередь, выполнима вероятностными алгоритмами с односторонней ошибкой, основанными на лемме Шварца–Зиппеля.

Обсуждается проблема поиска равновесных состояний машины Атвуда, в которой шкив конечного радиуса заменяется двумя отдельными малыми шкивами и оба груза могут колебаться в вертикальной плоскости. Получены дифференциальные уравнения движения системы и вычислены их решения в виде степенных рядов по малому параметру. Показано, что в случае грузов одинаковой массы равновесное положение r=const системы существует только при одинаковых амплитудах и частотах колебаний грузов и сдвиге фаз α = 0 или α = π. Кроме того, возможно состояние динамического равновесия, когда оба груза совершают колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, а сдвиг фаз составляет α=±π/2. При этом длины маятников также совершают колебания около некоторого равновесного значения. Сравнение полученных результатов с соответствующими численными решениями уравнений движения подтверждает их корректность. Все необходимые вычисления выполняются с помощью системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Рассматривается задача построения начальных членов формальных лорановых рядов, являющихся решениями для заданной компоненты yk (1⩽k⩽m) вектора неизвестных y дифференциальной системы y′=Ay, где y=(y1,…,ym)T, A – m × m-матрица, элементами которой являются d-усечения формальных лорановых рядов, т.е. их начальные члены до степени d⩾0 включительно. Предлагается алгоритм решения задачи с использованием алгоритма TSLS (Truncated Series Laurent Solution). Строящиеся предлагаемым алгоритмом первые члены формальных лорановых решений для yk являются инвариантными относительно возможных продолжений элементов матрицы исходной системы.

В статье предлагается алгоритмическая реализация элементарной версии метода Рунге для семейства диофантовых уравнений 4-й степени с двумя неизвестными. К уравнениям рассматриваемого типа сводится любое диофантово уравнение 4-й степени, старшая однородная часть которого разлагается в произведение линейного и кубического многочленов. Компьютерную реализацию алгоритма решения (в его оптимизированном виде) предполагается осуществить в системе компьютерной алгебры PARI/GP.

Компьютерная алгебра все шире применяется в научных и прикладных вычислениях. В качестве примера приведем тензорные вычисления или в более широком смысле этого слова – упрощение выражений с индексами. В настоящей статье развивается метод цветных графов для упрощения абстрактных выражений с индексами на случай, когда индексы могут быть отнесены к нескольким различным типам. Примерами таких индексов могут быть верхние и нижние индексы в тензорных выражениях. Предложенный подход позволяет значительно уменьшить число перебираемых вариантов при поиске канонической формы выражения, что резко ускоряет процесс вычислений.

В исследовательских задачах, требующих применения численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто возникает необходимость выбора наиболее эффективного и оптимального для конкретной задачи численного метода. В частности, для решения задачи Коши, сформулированной для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются методы Рунге–Кутты (явные или неявные, с управлением шагом сетки или без и т.д.). При этом приходится перебирать множество реализаций численного метода, подбирать коэффициенты или другие параметры численной схемы. В данной статье предложено описание разработанной авторами библиотеки и скриптов автоматизации генерации функций программного кода на языке Julia для набора численных схем методов Рунге–Кутты. При этом для символьных манипуляций использовано программное средство подстановки по шаблону. Предлагаемый подход к автоматизации генерации программного кода позволяет вносить изменения не в каждую подлежащую сравнению функцию по отдельности, а использовать для редактирования единый шаблон, что с одной стороны дает универсальность в реализации численной схемы, а с другой позволяет свести к минимуму число ошибок в процессе внесения изменений в сравниваемые реализации численного метода. Рассмотрены методы Рунге–Кутты без управления шагом, вложенные методы с управлением шагом и методы Розенброка также с управлением шагом. Полученные автоматически с помощью разработанной библиотеки программные коды численных схем протестированы при численном решении нескольких известных задач.

В работе исследуется задача символьного представления общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, заданными в символьном виде, при условии, что некоторые символьные константы могут обращаться в ноль. Кроме того, символьное представление собственных векторов матрицы коэффициентов системы не единственно. В работе на примере исследуемой системы показано, что стандартные процедуры компьютерной алгебры отыскивают конкретные символьные представления собственных векторов, игнорируя существование других символьных представлений собственных векторов. В свою очередь предлагаемые системой компьютерной алгебры собственные векторы могут быть непригодны для построения численных алгоритмов на их основе, что продемонстрировано в работе. Авторами предложен алгоритм отыскания различных символьных представлений собственных векторов символьно заданных матриц. В работе рассматривается конкретная система дифференциальных уравнений, полученная при исследовании решений уравнений Максвелла, однако предложенный алгоритм исследования применим к произвольной системе с нормальной матрицей коэффициентов.