Архив статей журнала
Обсуждается роль прикладных задач в математических дисциплинах младших курсах в техническом университете. Рассматриваются автономные системы дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение с трением, для которых закон сохранения механической энергии уже не выполняется. Однако первый интеграл такой системы можно рассматривать как некий закон сохранения. Разбирается задача о явлении резонанса для устоявшихся вынужденных колебаний механического амортизатора и электрического контура. Рассматриваются случаи, когда при определенном соотношении между параметрами контура резонанс возможен или невозможен.
Широко известно сравнение значимости понятия вычислимой функции со значимостью понятия натурального числа (Э. Пост). Однако традиции преподавания в технических вузах не предусматривают знакомства с основами теории вычислимых функций, что затрудняет изучение сложности алгоритмов студентами таких специальностей, как «Информационная безопасноть», САПР, «Прикладная математика» и др. На основе опыта работы со студентами с различной математической подготовкой можно рекомендовать начинать изложение этой темы с формализации понятия алгоритма. В качестве таких конструкций предлагаются машины Тьюринга и нормальные алгорифмы Маркова. Изучение различных формализаций интуитивного понятия алгоритма, сравнение решений, полученных упомянутыми методами, помогает лучшему пониманию теории вычислимых функций и способствует формированию чёткого представления о том, что такое сложность вычислений.
Рассмотрены методические аспекты преподавания курса «Ряды» в техническом вузе. Обсуждается необходимость включения в курс задач повышенной трудности, в частности, на исследование числовых рядов с параметром для более глубокого усвоения учебного материала, формирования у учащихся исследовательских аналитических навыков и четкого видения места данного раздела среди других разделов курса математического анализа. Подробно рассмотрены несколько примеров исследования сходимости числового ряда с параметром. В каждом примере указываются знания и навыки, необходимые для его решения.
Рассматриваются сходящиеся последовательности, монотонно зависящие от некоторого параметра, предел которых от этого параметра не зависит. Эти последовательности ограничены, при одних значениях параметра они строго возрастают, а при других убывают. Исследуется вопрос о нахождении оптимального значения параметра, при котором сходимость последовательности самая быстрая. В качестве примера рассматриваются: последовательность в определении числа «е», постоянная Эйлера - Маскерони и асимптотическая формула Стирлинга. Материал статьи может быть полезен для студентов направления «Прикладная математика» в техническом университете.
Рассмотрены методические аспекты преподавания обыкновенных дифференциальных уравнений в техническом университете. Анализируется программа курса по дифференциальным уравнениям в ИМТУ. Обсуждается необходимость включения в курс нестандартных задач, в частности, задач с параметром для более глубокого усвоения учебного материала, формирования у студентов исследовательских аналитических навыков и четкого видения места данного раздела среди других разделов курса высшей математики. Разобраны примеры из теории линейных дифференциальных равнений.
Рассматриваются методические аспекты преподавания раздела «кривые второго порядка» в курсе аналитической геометрии в техническом вузе. Обсуждается необходимость включения в курс нестандартных задач, в частности, задач с параметрами для более глубокого усвоения учебного материала. Такие задачи призваны формировать у студентов исследовательские аналитические навыки. Задачи на касательную к кривой второго порядка рассматривается как задачи с параметром. Исследуется пучок кривых, пересекающихся в одних и тех же точках, как семейство линий, заданных уравнением второго порядка с параметром.
Обсуждаются методические аспекты преподавания раздела «предел последовательности и функции» в техническом вузе. Рассматривается применение различных необходимых условий сходимости для обоснования отсутствия предела последовательности. Обсуждаются применения достаточных условий для обоснования сходимости и для вычисления предела последовательности. Разбираются методы нахождения предела рекуррентных последовательностей, сходящихся к неподвижной точке. Анализируется применение условия Липшица, гарантирующего сходимость рекуррентной последовательности.
Предложен ряд задач на вычисление пределов рекуррентных числовых последовательностей, требующих применения нестандартных методов решения и направленных на развитие у студентов навыков решения сложных задач по теме «Пределы последовательностей». Такие задачи могут быть предложены наиболее сильным студентам, в том числе и при подготовке к студенческим математическим олимпиадам. Уровень сложности предлагаемых задач можно понижать до желаемого, видоизменяя формулировку и давая указания к решению задачи. Полученные асимптотики позволяют лучше представлять себе поведение рекуррентной последовательности при больших значениях n.