SCI Библиотека

Данная книга возникла из лекций, читанных автором в течение ряда лет для студентов механико-математического факультета Московского университета, специализирующихся по гидродинамике. Это обстоятельство не могло не отразиться как на подборе подлежащих изложению вопросов, так и на характере самого изложения этих вопросов. Слезкин, Николай Алексеевич (1905—1991) — советский ученый в области механики, педагог. Опубликовал 92 научных работы, среди них известный учебник Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1955), Лекции по молекулярной гидродинамике (1981), Лекции по гидромеханике (1984), монография Платформы на воздушной подушке (1988, совм. с Н.Р. Сибгатуллиным и Э.А. Сорокиным). В 1947 году под его редакцией был издан перевод фундаментальной монографии Гидродинамика Г. Ламба. Оригинальные научные исследования посвящены различным вопросам гидроаэромеханики: плоским задачам гидроаэромеханики, движению вязкой жидкости, газовой динамике, теории волн, теории фильтрации, теории пограничного слоя, жидкой и газовой смазке, кинетической теории газов и жидкостей, вопросам артиллерийской техники. Решение задачи о движении вязкой жидкости в конусе и между конусами, первый и, по-видимому, единственный пример итерационного решения полных уравнений Навье - Стокса в рядах с доказательством сходимости.

В том вошел курс теории колебаний, прочитанный в 1930-32 гг., который удалось почти полностью восстановить по имеющимся запискам.

В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т. д.

Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§ 1–10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора “Геодезические линии”.

У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению.

Весь материал книжки можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса “высшей математики”, изучающегося, например, в технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, приступающего к изучению курса “высшей математики”, не бесполезно заглянуть подальше вперед.

Для читателя, знакомого с элементами математического анализа, не представит труда сделать некоторые определения и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно строгими (поясняющие соображения для этого он часто найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например, говорить не о малых величинах и их приближенном равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности. Если более взыскательный читатель останется все же неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит для него объяснением необходимости т

В основу этой книжки было положено содержание моей лекции, прочитанной в марте 1953 г. участникам 12-й Одесской математической олимпиады для учащихся старших классов средней школы. Олимпиада была организована и проводилась при физико-математическом факультете Одесского государственного университета им. И. И. Мечникова. Упомянутая лекция содержала лишь §§ 2, 5 и 8 в том виде, как они изложены в настоящей книжке, остальные параграфы, представляющие не меньший интерес, естественно, не могли войти в одну двухчасовую лекцию.

Содержание книжки вполне доступно для учеников девятого и десятого классов, так как по применяемым методам решения задач она не выходит за рамки курса математики средней школы, хотя по существу это — задачи высшей математики.

Считаю необходимым выразить благодарность Э. П. Тихоновой, способствовавшей своими ценными замечаниями улучшению этой книжки.

У школьников старших классов, особенно у интересующихся математикой, физикой, техникой, часто возникает вопрос: что такое “высшая” математика? Иногда подобные вопросы обсуждаются на занятиях школьных математических кружков.

В этой книге автор попытался (в форме, доступной учащимся старших классов) объяснить некоторые понятия высшей математики *), такие, как производная, дифференциальное уравнение, число е, натуральный логарифм (чаще всего школьники узнают о существовании двух последних понятий и интересуются ими). Пояснение этих понятий я пытался сделать возможно более наглядным, опираясь на решение задач, взятых из физики. При этом, помимо наглядности, я руководствовался стремлением показать, что понятия “высшей” математики являются математическим отражением свойств реальных процессов, совершающихся в природе, лишний раз показать, что математика связана с жизнью, а не оторвана от нее, что она развивается, а не является неизменной, завершенной наукой.

Не все доказательства и рассуждения, имеющиеся в книге, проведены с полной математической строгостью. Некоторые рассуждения носят характер наглядных пояснений. Такой метод изложения казался мне наиболее подходящим для популярной книги.

Книга может быть использована в работе школьных математических и физических кружков; для ее понимания требуются знания в объеме примерно девяти классов средней школы. Частично материал книги содержался в лекции для школьников, прочитанной автором по просьбе руководителей школьных математических кружков при МГУ.

Пользуюсь случаем выразить искреннюю признательность А. И. Маркушевичу и А. 3. Рывкину за их ценные советы и замечания о тексте рукописи.