Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля — задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.
Основной результат, которому посвящена брошюра, — полное описание решений уравнений Пелля.
Текст брошюры представляет собой обработанную и расширенную запись двух лекций, прочитанных автором 19 февраля и 15 апреля 2000 года на малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей…
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 16 и 19 июля 2001 года.
В брошюре рассказывается об основных понятиях дифференциальной геометрии: дифференциальных формах, расслоениях и связностях и об их использовании в современной физике.
Брошюра адресована студентам младших курсов.
Книга написана на основе курса лекций, в течении ряда лет прочитанных в Независимом московском университете. Эти лекции были посвящены изложению принципов и методов как классических, так и совсем недавно возникших областей теоретической физики. По сравнению с прошлым изданием (1999 г.) текст книги существенно расширен и переработан.
Для физиков и математиков различных специальностей, аспирантов и студентов старших курсов университетов.
Недавнее появление астроид и гипоциклонд в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению.
Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящей книге.
По материалам этой книги автором был прочитан миникурс участникам Летней школы «Современная математика» (школьникам старших классов и студентам I- II курсов) в Дубне 17—26 июля 2001 года.
Книга представляет интерес для широкого круга подготовленных читателей, интересующихся математикой.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математичекского кружка.
В монографии рассматривается история владений Византийской империи на Апеннинском полуострове от окончания Готской войны до падения византийского господства в Северной и Средней Италии. На основе всей совокупности источников анализируются проблемы внутриполитического и административного развития региона, взаимоотношения Византии с лангобардами, конфессиональные конфликты. Большой раздел посвящен Северо-Восточной Италии, ее социально-экономической и этнической истории.
Книга предназначена специалистам по средневековью и античности, студентам-историкам, всем, кто интересуется историей Византиии.
В книге излагаются основы нового направления в групповом анализе, связанного с приложением групп Ли к конечно-разностным уравнениям, сеткам, разностным функционалам.
Показывается, что наличие непрерывной симметрии у разностных моделей приводит так же, как и в классическом случае инвариантности дифференциальных уравнений, к понижению порядка и интегрируемости обыкновенных разностных уравнений, к наличию инвариантных (точных) решений у уравнений в частных разностных производных, к существованию разностных законов сохранения у инвариантных вариационных задач.
Рассмотрены многочисленные примеры построения разностных моделей, в которых полностью сохранена непрерывная симметрия исходных дифференциальных уравнений.
Для специалистов в области математической физики и вычислительной математики, интересующихся вопросами качественного анализа дискретных уравнений, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
В этой книге собрано множество игр, которые называются по-разному — занимательные, интеллектуальные, логические, математические, настольные и т. д. К таким играм прежде всего относятся шахматы — как классические, так и их различные модификации. Немало разновидностей имеют и шашки: помимо стоклеточных и национальных видов известны также поддавки, уголки и другие. Широкое распространение получили игра го, реверси, многочисленные модификации крестиков-ноликов — от простейшего детского варианта на маленькой доске до сложнейшей игры рэндзю. Весьма популярны игры и развлечения со словами: кроссворды и чайнворды, балда, наборщик, эрудит, а также анаграммы, метаграммы, палиндромы. Занятны и игры на отгадывание, например морской бой, быки и коровы. Все перечисленные игры содержатся в нашей книге. Конечно, в классические шахматы и шашки мы здесь углубляться не собираемся — им посвящена огромная литература. Затронем только более редкие, «сказочные» разновидности этих популярных игр, хотя автору книги, шахматному мастеру, признаться, все время приходилось сдерживать себя, чтобы не допустить слишком большой крен в сторону королевской игры. Данная книга не энциклопедия. Поэтому автор не чувствует себя скованным какими-то рамками, а стремится рассказать о занимательных играх тоже занимательно. В одних случаях описываются лишь правила игры, в других проводится глубокий анализ, разбираются интересные задачи и головоломки, которые могут возникнуть в процессе игры, строятся выигрышные стратегии для одного из игроков. Есть здесь и немало оригинальных находок и исследований автора.
Освещено состояние козоводства в стране и мире; дана характеристика коз разного направления продуктивности и полученной от них продукции; рассмотрены основные положения племенной работы, кормления, содержания, техники разведения коз. Предназначено для студентов сельскохозяйственных вузов, слушателей институтов переподготовки и повышения квалификации работников АПК, может быть полезно начинающим фермерам и тем, кто имеет коз в личной собственности.
