Учебное пособие соответствует программе курса «Математическая логика» для пединститутов. Рассматривается теория алгебры высказываний, алгебры предикатов, исчисления высказываний и предикатов. Изложение сопровождается рядом примеров, способствующих усвоению логики математических методов. Включены задачи и упражнения по каждому из разделов.
Предназначается для студентов пединститутов.
В книге рассказывается о том, как можно формально описать свойства хорошо знакомых всем отношений, указанных в заглавни.
На этом примере выясняется, как происходит переход от привычных, но неточных понятий к строгим математическим определениям.
Необходимость строгого описания простейших отношений возникает в математической логике, кибернетике, математической лингвистике и т. п. Простейшим примерам из математической лингвистики посвящена последняя глава книги.
В настоящее время интерес к математической логике и теории алгоритмов непрерывно растет. Все большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу обучения курсы математической логики, теории алгоритмов или их фрагменты. Специалисты в области ЭВМ начинают осознавать, что эти разделы математики являются фундаментом для построения настоятельно необходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения и теории вычислений.
Многие специалисты далеких от математики разделов науки начинают сознательно знакомиться с достижениями математической логики. За последние годы вышли переводы многих хороших книг по математической логике и теории алгоритмов, однако ни эти переводы, ни довольно бедный ассортимент отечественных книг не могут полностью удовлетворить запросы читателей.
Предлагаемая вниманию читателей книга сочетает в себе (относительную) простоту изложения с почти энциклопедической полнотой содержания. Ее выход в русском переводе будет полезен широкому кругу советских читателей.
Предлагаемая вниманию читателей книга Дж. Шенфилда посвящена изложению основных результатов о степенях неразрешимости (тьюринговых степенях). Эти результаты традиционно считаются трудными, так как в их доказательствах используются различные формы так называемого «метода приоритета». Автор книги поставил перед собой цель изложить материал в максимально простой и интуитивно оправданной форме.
И нужно сказать, что это ему в основном удалось. Педагогическое мастерство автора, известного уже советскому читателю по переводу его книги «Математическая логика» («Наука», М., 1975), позволило ему создать небольшую книгу, которая содержит практически все принципиально важные результаты о рекурсивно перечислимых степенях и которая тем не менее доступна для широких кругов читателей — математиков, интересующихся современными достижениями теории алгоритмов. Стоит, однако, предупредить, что чтение книги потребует от читателя напряженного внимания.
Книга посвящена важнейшей проблеме психологии математического мышления — соотношению между процессом мышления и его продуктом, т. е. между психологическим и логическим. Описан многолетний психолого-педагогический эксперимент и предложена адекватная модель обучения. Для формализации процессов мышления и обучения использованы алгоритмы типа Ляпунова, направленные графы, операторные схемы. Обсуждаются вопросы нахождения учащимися обобщенной модели при решении задач.
Выявлены общие принципы переработки информации человеком — укрупненные действия, объединение логических элементов, в ходе которого образуются системы «вложенных» алгоритмов.
Полученные результаты имеют выход к проблемам логики, интуиции, эвристики в математическом мышлении. Книга адресуется психологам, математикам, педагогам, а также специалистам, занятым моделированием разумной деятельности и совершенствованием человека-машинных комплексов.
Всякий вычислительный процесс складывается из преобра- зований групп знаков, выполняемых в соответствии с некоторым алгоритмом. В математике вводятся в рассмотрение группы знаков разнообразных типов. В одних случаях они являются объектами изучения, в других случаях — техническими средствами, применяемыми для записи алгоритмов, понятий, суждений и т. п.
При этом определении групп знаков, относящихся к какому-либо конкретному типу, обычно осуществляется посредством задания тех или иных правил конструирования. Правила конструирования позволяют развертывать процессы построения вводимых в рассмотрение объектов, исходя из некоторых элементарных знаков. Объекты, определяемые этим методом, характеризуются как результаты развертывания порождающих процессов, основывающихся на заданных правилах конструирования.
В ходе развития теории множеств, которая является основой построения большинства математических дисциплин, возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга представляет собой наиболее полный из существующих обзор исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней описываются и сравниваются между собой все важнейшие системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание уделено приложению идей и методов математической логики в различных направлениях исследований по основаниям математики (логизм, интуиционизм, формализм).
Книга, снабженная обширным списком литературы, представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями математики и связанными с ними вопросами математической логики, а также для философов и представителей других специальностей, имеющих отношение к методологическим проблемам математики.
В основу учебника положен курс логики, читавшийся на философском факультете Ленинградского университета в течение ряда лет.
В нем освещаются вопросы, относящиеся к общей и символической логике. Учебник предназначен для студентов-философов и студентов других гуманитарных факультетов и педагогических вузов.
Эта монография принадлежит перу одного из самых известных современных специалистов в области математической логики. Она задумана автором в качестве учебника для студентов, а также в известной мере в качестве справочника.
Предполагая у читателя только общую математическую культуру, книга с первых же страниц вводит его в глубокую проблематику, связанную с основными понятиями математической логики. Изложенный в ней материал представляет ценность для всякого математика, в том числе и для специалиста по математической логике. В качестве справочника ею могут пользоваться также и нематематики.
Содержавшееся в этом томе Введение (стр. 15—63) по существу представляет собой самостоятельное литературное произведение, которое с интересом и пользой может читаться самым широким кругом научных работников, интересующихся вопросами математической логики.
Развитие современной науки все с большей необходимостью ставит вопрос о тесном союзе естествоиспытателей, математиков и философов.
Необходимость укрепления союза естествознания, математики, с одной стороны, и марксистской философии — с другой, еще более возрастает в связи с принятием XXII съездом КПСС новой программы строительства коммунизма в нашей стране.
Н. С. Хрущев в докладе «О программе Коммунистической партии Советского Союза» отмечает, что «коммунистическое общество будет иметь самую развитую технику, самое развитое и организованное производство, самые совершенные машины». В связи с этим в огромной мере возрастает значение комплексной механизации и автоматизации производства.
Новая Программа КПСС подчеркивает важное значение формирования передового научного коммунистического мировоззрения в условиях развернутого строительства коммунизма, что обусловливает повышение роли и ответственности наук, в том числе и марксистской философии.
