SCI Библиотека

Пособие содержит задачи (по 30 вариантов каждой) из раздела высшей математики «Уравнения математической физики».
Задачи охватывают следующие темы: задачи Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка; метод разделения переменных решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в различных областях; начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения; краевые задачи для уравнения Гельмгольца и интегрального уравнения Фредгольма II рода.
Каждая глава пособия начинается с изложения теоретических сведений и разбора примера решения конкретной задачи.
Предназначено для студентов старших курсов, обучающихся по техническим специальностям, а также аспирантов и преподавателей.

В основу настоящей книги положены лекции, читавшиеся авторами на физическом факультете МГУ в течение ряда лет. При написании книги авторы стремились к систематичности изложения и к выделению важнейших понятий и теорем.

Книга отличается наглядностью и простотой изложения основ аналитической геометрии, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных и теории чисел.
Содержатся примеры и упражнения, позволяющие глубоко усвоить основные понятия и методы рассматриваемых областей математики.
Для студентов вузов, а также преподавателей втузов и техникумов. Может быть полезно учителям средней школы и школьникам старших классов.

Настоящая книга представляет собой введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики (механика и теория колебаний, теория электрических цепей, радиоактивный распад, лазеры и др.).

Книга рассчитана на читателей, интересующихся естественнонаучными приложениями высшей математики, преподавателей вузов и втузов, а также будущих физиков и инженеров.

Книга представляет собой изложение курса лекции механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова по различным разделам современной математики. Эти лекционные курсы читаются многими выдающимися профессорами, за что автор выражает им безмерную благодарность. Данный учебник содержит введение в такие разделы, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление, теория вероятностей, математическая статистика, оптимальное управление. Основная часть книги, а также приложение 1 рассчитаны на студентов, аспирантов ВУЗов, а также на всех интересующихся математикой. Приложение 2 рассчитано, в основном, на специалистов в области качественной теории дифференциальных уравнений и, в некотором смысле, требует дополнительных знаний.

Пособие предназначено для студентов, не специализирующихся в области математики, основных вопросов линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Большое число детально разобранных задач поможет студентам усваивать важнейшие идеи и методы решения примеров, данных для самостоятельной работы. Этот же набор примеров может быть использован преподавателями вузов как задачник.

Учебник соответствует примерной программе дисциплины “Математика” для направления 540100 “Естествознание”, специальности “Физика” педагогических вузов. Состоит из трех разделов. Первый раздел - аналитическая геометрия и линейная алгебра, второй - математический анализ, третий - специальные главы высшей математики, в том числе теория поля, элементы теории функций комплексной переменной, интеграл Фурье, основные уравнения и задачи математической физики, теория вероятностей, элементы математической статистики, элементы вариационного и операционного исчислений. В приложении приведены таблицы из теории вероятностей и математической статистики, дополнительная таблица интегралов и основные соотношения и формулы из школьной математики. Приведено много разнообразных примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы.

В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные пространства и общая теория операторов. Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего „Курса высшей математики“, вышедшего в 1947 году.

Содержанием теории функций вещественного переменного в настоящей книге является теория классического интеграла Стилтьеса, интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств.

В первой главе изложена теория классического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промежутки любого типа.

В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши—Стилтьеса. Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости.

В предисловии ко второму изданию пятого тома (1959 г.) Владимир Иванович Смирнов писал, что «предполагается выпуск шестого тома с изложением некоторых вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными». Он хотел, чтобы я была соавтором этого нового тома. Однако разные дела и обстоятельства помешали осуществлению этого намерения, и было решено ограничиться расширением четвертого тома. Для этого во второй том была включена теория интеграла Лебега и пространство L₂, а четвертый том был разбит на две части (книги).

В первой из них изложена теория интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций и в пространстве L₂, вариационное исчисление, теория обобщенных производных, основные свойства пространств W₁² и W₂² и задача о минимуме квадратичного функционала в обобщенной постановке. Эта часть вышла в свет в 1974 году. Переработка и расширение второй части четвертого тома пришлась на время, когда здоровье Владимира Ивановича было подорвано тяжелой болезнью.

Тем не менее он нашел в себе силы внимательно прочесть и отредактировать написанное мною дополнение и изменения и высказал пожелания относительно окончательной редакции данной книги. У Владимира Ивановича было намерение исключить часть материала предыдущего издания, которая ему казалась несколько устаревшей в свете последующих исследований. Но в результате совместного обсуждения он согласился сохранить его и внести лишь небольшие корректировки, необходимые для увязания старого и нового текстов.

В настоящее издание внесены следующие добавления и изменения: в главе I указаны результаты, касающиеся формулы Коши и интегралов типа Коши с использованием интегралов Лебега; в главе III изменено изложение приближенного вычисления интегралов по методу скорейшего спуска и добавлено изложение метода стационарной фазы; в главе IV расширено изложение теории аналитических функций одной матрицы.

Наибольшие изменения внесены в главу V. В частности, добавлена краткая теория функций Эйри, рассмотрена асимптотика решения одного линейного уравнения второго порядка, содержащего большой параметр, и расширено изложение теории одного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. В главе VI изменено изложение асимптотик функций Ханкеля и Бесселя при большом значке и аргументе.

Большую помощь при изложении указанных вопросов оказали мне В. М. Бабич, Б. С. Будильер и В. А. Якубович. Приношу им мою глубокую благодарность. Без их помощи я не мог бы выполнить большой работы по подготовке настоящего издания тома III.