В статье исследуются возможности совершенствованию системы знаний, которая в настоящее время не обладает необходимой целостностью, существует одновременно в нескольких противоречащих друг другу парадигмах, описывается на альтернативных, взаимно-непереводимых языках различных наук и областей знания. Возможности совершенствования системы знаний могут быть реализованы при систематизации и обобщений знаний в виде иерархической структуры, основанной на задействовании нескольких методологических уровней, к числу которых относятся: формирование иерархии аксиоматик; генерация формальных теорий предметных областей на основе выбранной аксиоматики и принятых в рамках современной научной парадигмы единообразных правил; определение методологических подходов к синтезу формальных моделей; топологическая верификация знаний на предмет обеспечения непрерывности отображений и сохранения преемственности при развитии и трансформации всей системы знаний и локальных систем знаний, относящихся к ее фрагментам или ипостасям. В основу методологии исследования положен эволюционный подход к познанию, исходя из которого относительно крупным предметным областям соответствуют эволюционные уровни мироздания, для которых определяется аксиоматика. Построение формальной модели осуществляется посредством специальной методологии синтеза. Для обоснованного выбора формальной модели предлагается оригинальная классификация моделей по широкому набору критериев. Научная новизна исследования заключается: в определении методологии построения иерархии аксиоматик; определении трех критериев выбора наилучших аксиом (эволюционности, очевидности и парадигмальности); в определении механизма возникновения неполноты и противоречивости систем знаний, возникающих вследствие инкапсуляции обобщенных знаний предшествующих эволюционных уровней, сопровождающейся потерей информации, а также определении подходов к устранению неполноты и противоречивости; в формализации специальной методологии синтеза формальных моделей, включающей в себя накопленный опыт синтеза, консолидированный в виде вторичных законов объектов, относящихся к моделированию, и инструментарий описания последовательности синтеза на основе ее языковой интерпретации; в формировании комплексного подхода к решению проблемы формальных моделей при их изменении за пределы системной определенности. На долгосрочную перспективу развитие системы знаний сформулирована цель определения методологических подходов к задаче конструирования языковых форм для трансляции смыслов между различными предметными областями с сохранением преемственности или с переопределением смыслов знания.
В работе рассматриваются задачи олимпиадной тематики, которые наиболее успешно решаются методами конечных геометрий. При подготовке учащихся и студентов к участию в математических соревнованиях полезно уделить определённое внимание задачам такого плана.
В статье обсуждается несостоятельность трёх «бесспорных» положений в современной логике: о противоречивости понятия «множество»; о безусловной необходимости аксиом в логике; о безошибочности силлогистики. Первое заблуждение преодолевается предложением использовать в основаниях логики алгебру множеств в том варианте, который изложен в книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?». Второе заблуждение преодолевается с помощью вывода известных законов алгебры множеств, которые соответствуют законам классической логики, методом перебора вариантов. Третье заблуждение преодолевается построением математической модели полисиллогистики, в основе которой лежат законы алгебры множеств. Новизна предложенной модели рассуждений заключается в том, что в неё помимо посылок вводятся ограничения, нарушение которых свидетельствует о некорректности рассуждения. Данная модель позволяет расширить аналитические возможности логического анализа и выявлять некорректности традиционной силлогистики, к которым, в частности, относится признание «неправильными» модусами некоторых правильных рассуждений. Формулируются и обосновываются новые законы алгебры множеств: закон парадокса, условие непустого пересечения и закон существования.
Учебник для 10-11 классов
В статье сделана попытка рассмотреть последствия теоретического подхода к уголовно-правовым предписаниям как к аксиомам. Выводы сделаны неутешительные. Во-первых, к указанным предписаниям видно двойственное отношение законодателя. С одной стороны, последний принимает их и вводит в действие, видимо, считая доказанными. С другой стороны, он нередко одни предписания не согласовывает с другими. При этом создается странная ситуация, которая характеризуется тем, что имеются несколько предписаний, каждое из которых подлежит применению в том виде, в котором сформулировано, но, по существу, они противоречат друг другу. Причем такая ситуация имеется как внутри уголовного законодательства, так и в соотношении его с предписаниями уголовно-процессуального и уголовно-исполнительного законодательства. Во-вторых, явно не считает уголовно-правовые предписания аксиомами судебная практика. Пленум Верховного Суда РФ зачастую разъясняет их якобы «по смыслу», но фактически изменяет содержание и меняет уголовное законодательство. И то и другое не соответствует принципу законности (ст. 3 УК РФ) и является следствием нарушения правил законодательной и интерпретационной техники.