SCI Библиотека

Пособие продолжает серию учебно-методических изданий по курсу высшей математики. Третий выпуск посвящен одному из фундаментальных понятий математики – понятию интеграла. В пособии подробно изучены всевозможные приложения интегрального исчисления, разобраны многочисленные примеры, приведены теоретические вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей нефтегазового образования, а также магистрантов, аспирантов, занимающихся исследованиями, связанными с применением математических методов. Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.

Множество — произвольная определяемая совокупность объектов (это определение т.н. “наивной” теории множеств, поэтому ниже будет упомянут парадокс Расселла и необходимость аксиоматического подхода).

Если объект x принадлежит множеству M, то пишут x ∈ M или M ∋ x. При этом x называется элементом или точкой множества M.

Обычно будем обозначать множества большими латинскими буквами, а их элементы — маленькими латинскими. Однако элементы множества также могут быть множествами, поэтому данное разграничение несущественно.

Второй том настоящего издания в основном содержит подробный обзор материала, который ранее можно было найти только в статьях. Так, например, здесь последовательно излагается применение обобщенных производных и обобщенных интегралов к тригонометрическим рядам, новые результаты об интерполировании линейных операторов, о сходимости и суммируемости почти всюду, дополнительные сведения о применении методов теории функций комплексного переменного, применение функций Литтлвуда — Пэли к рядам Фурье, теория интегралов Фурье.

Несколько в стороне от основного содержания тома стоят главы о тригонометрической интерполяции и обзор результатов о кратных рядах Фурье.

Книга Зигмунда удачно дополняет известную монографию Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» и наряду с ней может быть рекомендована студентам-математикам старших курсов и аспирантам различных специальностей как энциклопедия методов и фактов теории тригонометрических рядов.

Книга может служить пособием для специальных курсов по тригонометрическим рядам и другим разделам теории функций.

Первое издание книги А. Зигмунда «Тригонометрические ряды» вышло в 1935 году и было переведено на русский язык (ГОНТИ, 1939). Книга оказала существенное влияние на развитие теории рядов и до сих пор пользуется широкой популярностью у советских математиков.

В 1959 году книга Зигмунда вышла в новой редакции. Автор включил в нее много материала, который до того времени был опубликован лишь в периодической печати. В результате книга разрослась до двух томов.

Первый том по кругу рассмотренных в нем вопросов близок к первому изданию книги, однако во многих местах сделаны существенные дополнения, а некоторые доказательства заменены более прозрачными; часть материала перенесена во второй том.

Второй том настоящего издания в основном содержит новый материал. В нем последовательно излагаются применение обобщенных производных и обобщенных интегралов к тригонометрическим рядам, новые результаты об интерполировании линейных операторов и другие актуальные вопросы.

Настоящая книга А. Зигмунда и известная монография Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» взаимно дополняют друга друга и, вместе взятые, могут быть рекомендованы студентам-математикам старших курсов и аспирантам различных специальностей как энциклопедия методов и фактов теории тригонометрических рядов.

Книга может служить пособием для специальных курсов по тригонометрическим рядам и другим разделам теории функций.

Второй том настоящего издания в основном содержит подробный обзор материала, который ранее можно было найти только в статьях. Так, например, здесь последовательно излагается применение обобщенных производных и обобщенных интегралов к тригонометрическим рядам, новые результаты об интерполировании линейных операторов, о сходимости и суммируемости почти всюду, дополнительные сведения о применении методов теории функций комплексного переменного, применение функций Литтлвуда — Пэли к рядам Фурье, теория интегралов Фурье. Несколько в стороне от основного содержания тома стоят главы о тригонометрической интерполяции и обзор результатов о кратных рядах Фурье.

Книга Зигмунда удачно дополняет известную монографию Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» и наряду с ней может быть рекомендована студентам-математикам старших курсов и аспирантам различных специальностей как энциклопедия методов и фактов теории тригонометрических рядов. Книга может служить пособием для специальных курсов по тригонометрическим рядам и другим разделам теории функций.

Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям.

Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам.

Нашей целью было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов.

“Руководство” предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.

В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.

Содержание этого пособия соответствует программе по математическому анализу для машиностроительных, приборостроительных, механических, энергетических и строительных специальностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов технологических специальностей, которые могут опустить те разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу математического анализа.

Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не превышают требований программы. Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение некоторых вопросов в тексте, что будет иметь возможность устранить этот недостаток в следующем издании.

В работе изложена теория неявных функций от одной независимой переменной. Даны способы построения неявных функций в виде рядов. Находятся области сходимости этих рядов и области существования неявных функций, определяемых этими рядами.

Указывается аналитический вид неявных функций вне области сходимости рядов, представляющих неявные функции в исходной области.

Работе над любым разделом задачника-практикума должно предшествовать глубокое изучение соответствующего теоретического материала, необходимого для понимания данного раздела. Поэтому в начале каждого параграфа в задачнике-практикуме указываются те разделы, главы и параграфы, которые надо предварительно прочитать в учебнике. Для удобства студентов-заочников указания даются по трем учебникам:

1 Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, том I, Физматгиз, 1955 и том II, Физматгиз, 1956.
2 Н. А. Фролов, Курс математического анализа, часть 2, Учпедгиз, 1959.
3 И. А. Егорова, Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (учебно-методическое пособие для студентов-заочников III и IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов), Учпедгиз, 1958. Студент-заочник может выбрать тот учебник, который ему доступнее и понятнее. Достаточно пользоваться только одним из указанных учебников.

Небольшая книжка Д. Джексона представляет собой изложение важной области математики, лежащей на границе нескольких математических дисциплин (теория функций, анализ и специально краевые задачи для дифференциальных уравнений). Изложение по возможности современно и строго, но в то же время элементарно. Больше внимания уделено выяснению основ данной теории и ее связей со смежными разделами математики и математической физики, чем изысканным тонкостям, возникающим при желании довести изложение до предельной общности и логической законченности.

Ряды Фурье по тригонометрическим функциям занимают всего 47 страниц. Но о них сказано все, имеющее интерес для широкого круга математиков и физиков. Далее, с большой полнотой изложены свойства и приложения других основных систем ортонормированных функций. В главе VII изложены основы общей чебышевской теории ортонормальных многочленов. Глава IV специально посвящена краевым задачам для дифференциальных уравнений, который естественно приводят к рассматриваемым в книге ортонормальным системам.