Известно, что в условиях втуза начальные сведения о дифференциальных уравнениях могут потребоваться студенту очень рано. К такого рода сведениям, думаю, относится содержание главы XXIV и §§ 1—7 главы XXV настоящего тома. Изложение этих мест курса основывается лишь на материале первого тома и, как показывает опыт, вполне доступно студенту второго семестра.
На первом томе основываются и §§ 8—13 главы XXV. Однако соответствующий материал труднее и его лучше отнести дальше.
Изложение кратных интегралов, интегралов по поверхности, криволинейных интегралов первого рода ведется с общих позиций функций области (как и в ранее изданном моем курсе, но изложение, думается, удалось несколько усовершенствовать).
Как и в I томе, материал, который в условиях втуза можно опустить (более или менее бесспорно), выделен мелким шрифтом.
Настоящий курс «Элементы математического анализа» представляет собой несколько сокращённый и в значительной части переработанный вариант моего «Курса математического анализа», изданного Физматгизом в 1954—1957 гг. Этот вариант рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке предъявляются достаточно высокие требования, и приспособлен к ныне действующей программе (460 часов) Министерства высшего и среднего специального образования СССР.
Я стремился также сделать курс пригодным для заочного обучения, для чего изложение старался вести достаточно обстоятельно и в то же время достаточно сжато (чтобы главное не тонуло в неглавном), теорию снабдил весьма большим числом разобранных иллюстрирующих примеров и поясняющих чертежей.
В настоящем варианте курс математического анализа фактически не раз читался и неплохо усваивался студентами, и в том числе заочниками. Изложение ведётся, думаю, достаточно строго, но без излишеств. То, что доказывается, доказывается более или менее строго. Ряд доказательств в соответствии со вкусами порой опущен, фактически вводимые доказательства, связанных, так сказать, с «ловкостью рук», не допускаю. На готовых уже и много менее местах материал, который в усвоении требует более или менее конечно можно опустить, выделен мелким шрифтом.
В работе приведена характеристика основных месторождений полезных ископаемых: горючих, металлических, неметаллических, строительных материалов, подземных вод пресных, минеральных и термальных с учетом их бальнеологического значения.
Дана характеристика месторождений Крыма с приложением кондиционных запасов по отдельным пунктам. Показаны перспективы развития и освоения описанных месторождений и дальнейшее их развитие.
В результате открытия газовых месторождений (Джанкойское, Стрелковое, Глебовское и др.) ряд населенных пунктов и промышленных предприятий. Крымской области - получили природный газ. Дальнейшие перспективы развития газовой промышленности юга УССР связываются с северо-западной частью Черного моря и Азовским морем. Открытие Северо-Сивашского месторождения йодо-бромных вод расширяет промышленные потенциалы Крыма.
Приведенные сведения по минеральным богатствам Крымского полуострова могут использовать научные исследователи, геологи производственных организаций, а также студенты и другие лица, проявляющие интерес к освоению сокровищ недр Крыма.
В настоящее издание внесены следующие добавления и изменения: в главе I указаны результаты, касающиеся формулы Коши и интегралов типа Коши с использованием интегралов Лебега; в главе III изменено изложение приближенного вычисления интегралов по методу скорейшего спуска и добавлено изложение метода стационарной фазы; в главе IV расширено изложение теории аналитических функций одной матрицы.
Наибольшие изменения внесены в главу V. В частности, добавлена краткая теория функций Эйри, рассмотрена асимптотика решения одного линейного уравнения второго порядка, содержащего большой параметр, и расширено изложение теории одного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. В главе VI изменено изложение асимптотик функций Ханкеля и Бесселя при большом значке и аргументе.
Большую помощь при изложении указанных вопросов оказали мне В. М. Бабич, Б. С. Будильер и В. А. Якубович. Приношу им мою глубокую благодарность. Без их помощи я не мог бы выполнить большой работы по подготовке настоящего издания тома III.
Настоящее шестое издание четвертого тома существенно отличается от пятого издания. Это связано с тем, что четвертый том впервые печатается после изменения второго тома, в котором изложена теория интеграла Лебега и класс L₂ функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. Это повлекло изменение изложения первой главы IV тома — теории интегральных уравнений. Кроме того, добавлена третья глава, содержащая изложение новых точек зрения на некоторые основные понятия математического анализа. Вторая глава (вариационное исчисление) несколько расширена. В третьей главе уже с новых точек зрения рассмотрена задача о минимуме квадратичного функционала.
В предыдущем издании четвертый том содержал более 800 страниц. В настоящем издании его пришлось разбить на две части, и настоящая книга является первой его частью.
В заключение я приношу глубокую благодарность моим сотрудникам по университету М. Ш. Бирману, О. А. Ладыженской, М. З. Соломку и Н. Н. Уральцевой за большую помощь при составлении этой книги.
Общий план настоящего издания второго тома тот же, что и в предыдущем издании. Существенные изменения внесены в первые две главы, посвященные дифференциальным уравнениям. Уже в п. 2 первой формулируется теорема существования и единственности решения при начальном условии, и остальное изложение проводится в непосредственной связи с этой теоремой. Значительно расширено содержание §5 второй главы.
В §9 третьей главы после изложения теории меры Жордана и исследования интеграла Римана излагаются теория меры Лебега, свойства измеримых функций и интеграл Лебега. В связи с этим §15 шестой главы содержит изложение свойств класса L₂ и теорию ортонормированных систем функций этого класса. Первые три главы были прочтены С. М. Лозинским, от которого я получил ряд ценных указаний. Выражаю ему мою глубокую благодарность.
В настоящем издании, в связи с добавлением нового материала, третий том разбит на две части. Первая часть содержит весь материал, относящийся к линейной алгебре, теории квадратичных форм и теории групп. В этой части наиболее существенные добавления относятся к теории групп. Большую помощь при составлении этих добавлений мне оказал Д. К. Фаддеев.
Ему, в частности, принадлежит изложение материала, относящегося к выяснению простоты группы вращения и группы Лоренца, построение группы по структурным постоянным и интегрированию на группе 70, 81, 87, 88, 89, 90. Приношу ему большую благодарность за помощь в работе над этой книгой.
Настоящее издание весьма существенно отличается от предыдущего. Из книги исключен материал, относящийся к аналитической геометрии. В связи с этим пришлось сделать перегруппировку оставшегося материала. В частности, все имеющиеся в настоящем томе приложения дифференциального числения к геометрии собраны в §7 (глава II). Далее, в первый том отнесена глава, посвященная комплексным числам, основным свойствам целых многочленов и систематическому интегрированию функций. Прежде она была главой I второго тома. Не останавливаясь на мелких добавлениях и изменениях в изложении, мы укажем на существенные добавления.
Принимая во внимание, что в следующих томах приходится встречаться с довольно тонкими и сложными вопросами современного анализа, мы сочли полезным в конце §2 (глава I) после изложения теории пределов поместить изложение теории иррациональных чисел и её применений к доказательству признаков существования предела и свойств непрерывных функций. Там же мы приводим строгое определение и исследование свойств элементарных функций. В главе V, посвященной функциям нескольких переменных, мы приводим доказательство существования неявных функций.
Изложение ведется таким образом, что крупный шрифт может читаться самостоятельно. В мелкий шрифт отнесены примеры, некоторые отдельные дополнительные вопросы, а также весь теоретический материал, о котором мы упоминали выше, и последние три параграфа главы IV, также содержащие дополнительный теоретический материал более сложного характера.
Профессор Г. М. Фихтенгольц сделал мне ряд ценных указаний в отношении изложения, которыми я воспользовался при окончательной редакции этой книги. Считаю своим приятным долгом выразить ему мою глубокую благодарность.
В первом томе монографии излагается общая теория асимптотических разложений и рассматривается асимптотическое разложение интегралов, зависящих от большого и малого параметров.
При разложении используются методы, основанные на интегрировании по частям и разложении подинтегральной функции в ряд. Материал содержит обзор имеющейся литературы, а также результаты оригинальных исследований. Приводятся исторические и библиографические сведения.
Книга посвящена, в основном, функциям одной вещественной переменной. Лишь в трёх главах (XI—XIII) рассматриваются функции многих переменных и функции множества.
Книга содержит большое количество упражнений, и сравнительно лёгкие, доступные широкому кругу читателей, и значительно более трудные, которые могут служить хорошим материалом для студенческих математических кружков.
