Настоящая книга представляет собой перевод первой части монографии Э. Ч. Титчмарша о разложениях по собственным функциям, изданной в Англии. Вторая часть выйдет из печати вскоре после первой части.
Первая часть монографии посвящается рассмотрению общего сингулярного случая в теории разложений по собственным функциям обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Во второй части в основном излагаются проблемы разложения по собственным функциям для уравнений в частных производных.
Написанная одним из создателей теории сингулярных дифференциальных операторов, монография Титчмарша будет интересна и полезна для многих математиков: студентов старших курсов, аспирантов и научных работников. Она будет особенно полезна для физиков-теоретиков, сталкивающихся в своей работе с задачами спектральной теории дифференциальных уравнений.
Курс дифференциальных уравнений в объёме нашей университетской программы по необходимости слагается из глав, соответствующих различным отделам научной теории этой ветви математического анализа.
Элементарные методы интеграции, теоремы существования, особые решения, общая теория линейных уравнений — эти главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли, с применением методов теории функций действительного и комплексного переменного, с методами линейной алгебры и т. п.
Современное понятие о математической строгости, постепенно внедряющееся в курсы анализа, не позволяет строить учебник дифференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную связь отделов — например, элементарных методов интегрирования и теорем существования.
Далее, развитие самой теории и современных её приложений требует введения в университетский курс новых вопросов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных методов, с другой стороны, с теоремами колебаний для линейных дифференциальных уравнений.
Два тома книги Дж. Сансоне весьма богаты по своему содержанию. В них нашли достаточно полное освещение такие вопросы, как краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотическое поведение решений линейных уравнений, теоремы существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости решений и многие другие. Пожалуй, главной темой книги являются весьма важные для приложений математики краевые задачи и непосредственно связанные с ними задачи об асимптотическом поведении решений на бесконечности.
В различных главах первого и второго томов рассмотрены всевозможные постановки линейных и нелинейных краевых задач и разобраны самые разнообразные методы их решений. Автор книги всюду, где это возможно, иллюстрирует изложения на примерах применений к реальным математическим задачам, в этих вопросах выкладки до окончательных формул.
Последние три главы второго тома (около трехсот страниц) посвящены обстоятельному изложению приложения к вопросам нелинейных колебаний, слияния, графических и аналитических методов — оперативно-статических уравнений, а также вопросам теории нелинейных колебаний. Наличие этих глав делает книгу Сансоне полезной не только для математиков, но и для инженеров и научных работников технических институтов, которым приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями.
В книге излагаются методы исследования существенно нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Книга состоит из двух частей. В первой части дается сочетание метода Ляпунова, метода малого параметра Пуанкаре и метода усреднения.
Вторая часть книги посвящена применению теории нормальных форм к автономным системам третьего, четвертого и шестого порядков. Рассматриваются механические, физические и электромеханические примеры.
Книга предназначена для специалистов в области прикладной математики, студентов старших курсов и аспирантов физико-технических и физико-математических факультетов.
Курс дифференциальных уравнений в объёме нашей университетской программы по необходимости слагается из глав, соответствующих различным отделам научной теории этой ветви математического анализа. Элементарные методы интеграции, теоремы существования, особые решения, общая теория линейных уравнений — эти главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли, с применением методов теории функций действительного и комплексного переменного, с методами линейной алгебры и т. п.
Современное понятие о математической строгости, постепенно внедряющееся в курсы анализа, не позволяет строить учебник дифференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную связь отделов — например, элементарных методов интегрирования и теорем существования.
Далее, развитие самой теории и современных её приложений требует введения в университетский курс новых вопросов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных методов, с другой стороны, с теоремами колебаний для линейных дифференциальных уравнений.
Если это условие не выполняется, то решение называется неустойчивым. Для некоторых приложений достаточно, чтобы неравенства (5) выполнялись лишь для значений (x \geq x^0); в этом случае говорят о положительной устойчивости¹.
Иногда бывает интересно требовать выполнения неравенств (5) лишь для части функций (y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)), характеризующей некоторые стороны изучаемого явления; в этом случае говорят о частичной устойчивости, или об устойчивости в смысле Раута [1]. Пусть, например, уравнение второго порядка [ y’’ = f(x; y, y’) \tag{6}]
Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенных дифференциальных уравнений находятся в теории колебаний и в теории автоматического управления.
Эти применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным.
Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применения в технике, но также продемонстрировать на самом примере органическую связь теоретических вопросов с их приложениями, я включил в лекции вопросы, подробно изложенные в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.
Топологическая теория динамических систем (топологическая динамика), начало которой было положено Дж. Д. Биркгофом, особенно интенсивно развивалась в 30-е — 40-е годы нашего столетия. Многие из полученных в то время результатов содержатся в монографии В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [1] (четвёртая глава в первом издании и пятая — во втором) и книге В. Х. Готшалка и Г. А. Хедлунда [1]. В 50-х—60-х годах проведены исследования, которые, в частности, позволили по-новому взглянуть на некоторые полученные ранее результаты.
В настоящей работе излагаются основы теории динамических систем, однако автор старался по мере возможности затронуть и некоторые вопросы, выходящие за рамки “введения” в топологическую динамику. В частности, в последней главе рассмотрены вкратце различные обобщения теории динамических систем.
Приведенная в конце книги библиография содержит лишь работы, цитированные в этой книге; дополнительным источником может служить библиография, опубликованная В. Х. Готшалком [1].
Рассматривается задача об устойчивости движения по отношению к части переменных, получившая за последние 30 лет интенсивное развитие, и различные аспекты ее решения методом функций Ляпунова.
Излагаются обобщения классических теорем Ляпунова и Четаева, изучается проблема существования функций Ляпунова. Рассматриваются вопросы равномерности асимптотической устойчивости, оптимальной стабилизации, использования двух и большего числа функций Ляпунова, применения дифференциальных неравенств, сохранения устойчивости при действии возмущений. Излагаемый материал иллюстрируется примерами.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов, занимающихся теорией устойчивости и ее применениями.
Монография состоит из двух частей. Первая посвящена систематическому изложению разработанного автором вычетного метода и его применению к решению широких классов задач дифференциальных уравнений, не поддающихся решению известными методами. Во второй части дается новый метод, названный методом контурного интеграла, в применении к исследованию весьма общих линейных смешанных задач дифференциальных уравнений.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов, научных и инженерно-технических работников, имеющих дело с дифференциальными уравнениями в частных производных.
