Целью этого тома является изложение современных алгебраических методов, полезных при исследованиях в области бирациональной геометрии алгебраических многообразий. Подобное изложение уже опубликовано Вейлем в его книге 9. Когда будут опубликованы лекции Зарисского, прочитанные в Коллоквиуме Американского математического общества в 1947 г., станет доступным еще одно полное изложение этой области геометрии.
Оправданием появления третьей работы, посвященной тому же предмету, служит то, что этот том предназначен для другой категории читателей. Он предназначен для читателя, хорошо знакомого с классическими методами алгебраической геометрии, желающего овладеть новыми мощными методами, которые дает современная алгебра, и в то же время выяснить, что представляют собой эти методы с точки зрения привычных ему понятий. Таким образом, данное издание в первую очередь посвящено методам, а не получению оригинальных результатов и не изложению единой теории многообразий.
В этом томе излагаются основные методы теории алгебраических многообразий в n-мерном пространстве. В нем даются также приложения этих методов к некоторым из наиболее важных многообразий, используемых в проективной геометрии.
Первоначально мы предполагали изложить также арифметическую теорию многообразий и основы бирациональной геометрии, но оказалось более удобным оставить эти разделы для третьего тома. Поэтому теория алгебраических многообразий, развитая в этом томе, является в основном теорией многообразий в проективном пространстве.
Геометрия алгебраических многообразий высших размерностей является естественным развитием теории алгебраических кривых и поверхностей. Ее можно рассматривать также как геометрическую теорию систем алгебраических уравнений или как геометрический аспект теории алгебраических функций. Ввиду такой многогранности предмета изучения, алгебраическая геометрия чрезвычайно богата связями с самыми различными отраслями математики, причем связи эти возникают как в постановках вопросов, так и в используемых методах.
История алгебраической геометрии своеобразна в том отношении, что в ней накопление фактического материала намного опережало «наведение порядка» в смысле достижений надлежащей строгости. Разрыв здесь настолько значителен, что до сих пор не исчезли сомнения в правильности многих утверждений и не прекратились дебаты о том, достаточно ли или нет имеющихся доказательств. Все это, конечно, крайне затрудняет изучение алгебраической геометрии по имеющейся литературе.
