В настоящей работе мы излагаем результаты наших исследований в области топологических методов в вариационном исчислении, полученные нами главным образом в конце 1927 г. и начале 1928 г. По мере их получения, они излагались на докладах в московских научных учреждениях. О них же было доложено на V международном математическом съезде (в г. Болонье в 1928 г.).
Мы не касались здесь наших более ранних работ в этой области, которые велись другими методами, а равно и работ последнего времени.
Первая глава служит введением — в ней дается очерк главнейших из работ, к которым тематически и методически примыкают наши исследования. Впрочем, при изложении основного материала мы не предполагали от читателя знакомства с этими результатами. Для его понимания достаточно знакомства с основными идеями вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и топологии. Исключение представляет лишь § 5, гл. II, где изложение опирается на более новые результаты в области дифференциальной топологии. Поэтому раздел § 4, необходимый для дальнейшего, мы постарались изложить проще, максимально приближая его к элементарным правилам.
Автор книги М. Морс известен многолетними исследованиями в области приложения топологических методов к вопросам математического анализа. В последние годы он стал работать над приложением топологических методов к теории функций комплексного переменного и к теории гармонических функций двух переменных. Аннотируемая книга содержит важнейшие результаты его исследований в этой области. Изложение иллюстрируется примерами.
Книга рассчитана на широкий круг математиков — научных работников, преподавателей и аспирантов, занимающихся топологией, математическим анализом и теорией функций.
С рукописью настоящей книги (или с ее частями) знакомился ряд математиков. Автор пользуется случаем поблагодарить за ценные советы и различные замечания М. Г. и С. Г. Крейнов, Л. А. Лустерника, С. Г. Михлина, В. И. Соболева, Г. Е. Шилова и Л. Э. Эльсгольца.
По рукописи книги изучали отдельные вопросы нелинейного функционального анализа мои ученики и сотрудники Я. Б. Руцкий, Л. А. Ладыженский, А. И. Поволоцкий и И. А. Бахтин. Я рад отметить, что им принадлежит ряд страниц в предлагаемой читателю редакции книги.
