Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскивании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа.
Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планет или звезд нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.
Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть весьма простою, весьма мало обработанною (хотя по способу обращения с функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).
Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.
Коллектив авторов при составлении этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материалистическими основами и путями развития.
В сборник включено 22 классические работы по геометрии Лобачевского и развитию этих идей. Эти работы сгруппированы по трем отделам. Первый отдел — работы самого Лобачевского, Яноша Больаи и Гаусса по неевклидовой геометрии. Второй отдел — основы теории поверхностей и интерпретации геометрии Лобачевского. Последний отдел — развитие идей геометрии Лобачевского — начинается известными работами Римана, Бельтрами, Гельмгольца, Ли и Пуанкаре об основаниях геометрии, которые были помещены в казанском издании сборника; мемуар Римана дополнен комментариями Вейля. Сборник рассчитан на читателя, имеющего математическую подготовку в объеме трех курсов университета или полного курса педагогического института; поэтому в нем имеется лишь незначительное число примечаний, поясняющих текст или дающих библиографическую ссылку.
Эта книга, входящая в серию «Классики естествознания», выпускается к 100-летию со дня смерти Лобачевского. Ее цель — дать возможность широким кругам читателей ознакомиться с сочинениями великого русского математика в подлиннике. Три сочинения Лобачевского — «Геометрия», «Геометрические исследования по теории параллельных линий» и «Пангеометрия» — эта три этапа его творческой жизни, и в то же время — наиболее доступные из его работ.
Имя Гаспара Кориолиса широко известно. «Поворотное ускорение Кориолиса», «кориолисовы силы инерции» знакомы каждому, изучавшему теоретическую механику. Кориолис является одним из основателей прикладной механики. Он ввел в науку столь важное понятие, как «механическая работа». Он известен исследованиями в области гидравлики, по теории локомотива и т. п. Деятельность Кориолиса оставила глубокий след в науке и технике. Между тем о жизни этого замечательного ученого имеются лишь самые скудные сведения. Книга Кориолиса ценна еще и тем, что в ней широко применяются графические методы расчета. Работа Кориолиса была выполнена значительно ранее, чем появились в науке различные графические способы исследования движения, ставшие теперь обычными в механике и едва ли не доминирующими при исследовании механизмов.
«Теория электронов» — классическая книга о классической теории. Современная наука после написания этой книги (в 1907 г.) нашла новые пути. Тем не менее появление ее в русском переводе следует признать желательным и даже необходимым. Кто желает получить углубленное понимание современных теорий, тот должен обратиться к изучению той почвы, из которой выросли ее построения. Трудно было бы указать книгу, более пригодную для подобной цели, чем предлагаемая здесь книга Лорентца. Создатель теории электронов сосредоточил здесь все, чем эта теория жила с момента ее зарождения до момента ее самого пышного расцвета. Перед текстом читатель найдет вводную статью об исторической перспективе, в которой развивалась электронная теория. Редактор счел также полезным поместить после текста свои примечания к тем местам книги, которые требуют дополнений в связи с позднейшим развитием вопроса.
«… Шинной пром-стью выпускаются также бескамерные шины для грузовых и легковых автомобилей. В бескамерных шинах воздух накачивается во внутреннюю полость А. ш. через вентиль, установленный на ободе колеса. Герметизация А. ш. обеспечивается плотным прилеганием борта шины к ободу колеса. Для предохранения утечки воздуха через поры покрышки А. ш. покрывается изнутри тонким слоем резины. Этот слой обладает также способностью затягивать мелкие проколы в шине. Бескамерные А. ш. более просты и надежны в эксплуатации. Шинные заводы гарантируют следующие нормы пробега А. ш. в условиях нормальной эксплуатации: для грузовых автомобилей — 32 тыс. км, для легковых автомобилей — 24 тыс. км. Для увеличения долговечности А. ш. не следует допускать их перегрузки, попадания на них бензина и масла, необходимо поддерживать в них нормальное давление…»
Обычно изготовление корпуса модели корабля способом набора начинается с закладки килевой балки на стапеле с дальнейшим наращиванием на ней шпангоутов, стрингеров и палубного настила. Собранный в такой последовательности корпус модели иногда «ведет», особенно если его длина более одного метра. Чтобы выправить корпус модели, моделисту приходится затрачивать немало усилий, но это не всегда удается. Как правило, такой корпус остается несимметричным и модель не удерживается на прямом курсе.
В настоящей консультации описывается изготовление корпуса модели способом набора в обратной последовательности, т. е. начиная с палубного настила с последующим наращиванием на корпус штевней, килевой рамки, шпангоутов и т. д. Этот способ разработан в Центральной лаборатории морского моделизма ДОСААФ и заслуживает всяческого распространения.
Почему же рекомендуется постройка корпуса модели только способом набора и не уделяется внимания, например, долбленому корпусу, где набор совершенно исключен? Да потому, чтобы поставить моделиста в условия, наиболее приближенные к постройке настоящего корабля. Этого в значительной мере можно достигнуть при постройке корпуса модели способом набора.
При таком способе постройки моделист, особенно начинающий, как ни при каком другом, прививает себе ремесленные навыки и получает новые знания в области кораблеустройства и архитектуры корабля. Он узнает названия деталей корабельного набора, уяснит, какие части корпуса создают поперечную, а какие продольную прочность, как крепятся отдельные детали между собой, убедится, что модель собирается таким же способом, как и корабль, только моделист применяет для этого фанеру, картон, клей.
Рекомендуемый способ постройки корпуса модели с успехом может быть выполнен при условии, если моделист будет соблюдать все этапы в той последовательности, как указано в настоящей консультации.
Построить симметричный корпус модели можно только в том случае, если моделист будет точно производить необходимую разметку, не допуская отклонения от заданных размеро
Читая второй том «Настольной книги охотника- спортсмена», советские охотники смогут познакомиться с краткой биологией птиц и зверей, населяющих леса, поля, реки, болота и горы — наши охотничьи просторы и являющихся объектами спортивной охоты, получат все главные сведения о способах спортивной охоты по перу и зверю, узнают все необходимое о лучшем друге и помощнике охотника — об охотничьей собаке, научатся правильно выбирать, выращивать и воспитывать щенка, правильно дрессировать, натаскивать и рационально применять на охоте легавых, гончих, лаек и другие породы охотничьих собак.
К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчисление было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обобщить полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.
Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно выяснилось, что некоторые основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к тому, что рядом выдающихся математиков высказывались нередко ошибки. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основах анализа.
