Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В−Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение χ = =В−Р+Г может принимать совсем другие значения.
Приняв значение χ за численную характеристику поверхности, мы получаем её первый т о п о л о г и ч е с к и й и н в а р и а н т: он позволяет доказать, например, что тор н е э к в и в а л е н т е н кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна н е у д а ё тс я: нужен другой инвариант, выражающий о р и е н т и р у ем о с т ь поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей.
Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику χ с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.
