Введённый Декартом в науку метод изучения геометрических конфигураций посредством представления их уравнениями устанавливает связь между аналитическими свойствами этих последних и геометрическими свойствами изображаемых ими фигур.
Всякий успех в аналитической теории — в теории функций двух и трех переменных, и в частности в области алгебраических функций, должен вести за собой соответствующее расширение наших знаний относительно свойств геометрических конфигураций, которые получаются приравниванием нулю подобных функций.
На самом деле, однако, такого полного соответствия в успехах аналитической теории и их геометрических приложений далеко не замечается. Прекрасные работы Кронекера и Вейерштрасса по теории обобщённых форм почти не получили сходных геометрических истолкований.
Теория инвариантов, или новая высшая алгебра, получившая на основе геометрии некоторые исследования свойств фигур, не изменяющихся при линейных преобразованиях, стала в настоящее время средством достижения новых результатов, да ещё сравнительно мало доступных. В заключение следует отметить указания Клебша в его последних работах.
Задачу об интегрировании дифференциальных уравнений можно ставить двойным образом: можно, во-первых, выбрав одно какое угодно, но определенное решение рассматриваемого уравнения, искать способы, которые позволили бы вычислить с какой угодно точностью значение этого решения при каком угодно значении независимой переменной, или же, во-вторых, можно поставить себе целью точное отыскание всех возможных решений заданного уравнения при помощи конечного числа уже известных действий или же действий, хотя и новых, но предварительно изученных.
Решая задачу об интегрировании первым из двух указанных способов, мы получаем интегрирование заданного уравнения по приближению; решая вторым способом — приходим к интегрированию в замкнутой форме.
