Традиционно считается, что дифференциальная геометрия изучает гладкие многообразия в присутствии дополнительных структур — тензорных полей, римановых метрик, расслоений, связностей, и т. п., что она является универсальным языком, при помощи которого исследование взаимодействия этих структур сводится к алгебраическим манипуляциям над функциями и их производными.
Признавая справедливость такого мнения, отметим, что в современной математике все сильнее ощущается как раз обратное влияние геометрии на алгебру. Принципиальное значение геометрии состоит в ее использовании как наглядной модели, мотивировки при манипулировании абстрактными дифференциальными алгебраическими объектами. Поясним это на примере понятия касательного вектора ξ ∈ TₓMⁿ.
Брошюра написана по материалам цикла занятий, проведённых автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2001 года.
Читатель знакомится с основными понятиями дифференциальной геометрии — дифференциальными формами, расслоениями, метриками, связностями. При этом изложение ведётся на языке, который не требует использования сложных формул с многоэтажными индексами, столь обычных для данного предмета.
Брошюра адресована старшим школьникам и младшим студентам.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2005 г. В первой части описывается возможное поведение типичных динамических систем на плоскости и двумерной сфере, т. е. рассматривается вопрос о том, куда могут накапливаться траектории динамической системы.
Вторая часть брошюры рассказывает о том, что многомерный случай принципиально отличается от двумерного — анализируется пример отображения (подкова Смейла) со счётным числом периодических орбит, не исчезающих при малом возмущении.
От читателя не потребуется никаких знаний из теории дифференциальных уравнений, предполагается лишь знакомство с понятием производной. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2004 г. Она посвящена одному из разделов теории динамических систем — аттракторам и их хаусдорфовой (фрактальной) размерности.
Рассматриваются различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы. В качестве основного примера странных аттракторов рассматривается соленоид Смейла—Вильямса, проводится аналогия между ним и канторовым совершенным множеством.
От читателя не требуется никаких начальных знаний из теории дифференциальных уравнений. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.
Настоящий сборник содержит статьи математиков, статистиков и биологов, содержащие критическую оценку широко распространенных теперь библиометрических методов оценки научной деятельности. Авторы показывают, к каким неверным выводам может приводить использование таких численных показателей, как импакт-фактор и индекс цитируемости.
Основное место в сборнике занимает отчет «Статистики цитирования», подготовленный по инициативе Международного математического союза. К нему добавлен ряд других статей на эту же тему.
Автор этой книги — профессиональный математик — рассказывает о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книги смешанный: дневниковые записи перемежаются рассуждениями о математике или о психологии, наблюдения за детьми и за их реакцией на происходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередь позволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи.
Книга будет интересна родителям дошкольников (а также их бабушкам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальных классов, и вообще всем тем, кого интересует процесс развития детского интеллекта.
В данный сборник вошли материалы выездных школ по подготовке команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду.
Материалы сборника могут использоваться как школьниками для самостоятельных занятий, так и преподавателями. В большинстве материалов сборника приведены дававшиеся на занятиях задачи, а также решения или указания к ключевым задачам.
Начну с изъявления двух радостных чувств.
Это, во-первых, чувство глубокого удовлетворения от состоявшегося события, причём, на мой взгляд, события значительного. Событие заключается в том, что данное уникальное сочинение А. А. Зализняка появилось, наконец, в виде отдельного издания.
Лингвистические задачи Зализняка, разделённые на две группы и представленные в этой книжке, могут не только составить тему занятий кружков для школьников кружков как по лингвистике, так и по математике, но и доставить истинное наслаждение всем, кто готов получать удовольствие от интеллектуальных упражнений. До сего времени это сочинение Зализняка печаталось хотя и дважды, но только в составе сборников.
Изучение числа π — задача, интересующая математиков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой брошюре излагается история вычислений числа π, начиная от Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными алгоритмами. Рассказывается также о различных проблемах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока остаются нерешёнными.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором22 декабря 2001 года на Маломмехмате МГУ для школьников 9—11 классов.
Для широкого круга читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей
Инверсия — отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.
После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, кругах окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе.
Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией.
Брошюра написана по мотивам лекции, прочитанной автором на Малом мехмате 28 февраля 2004 года.
