Есть в математике темы, пользующиеся достаточно известностью и в то же время признаваемые традицией слишком сложными (или маловажными) для включения в обязательное обучение: обычай относит их к занятиям факультативным, дополнительным, специальным и т. п. В перечне таких тем есть несколько, остающихся сейчас там исключительно в силу инерции. Одной из них является теорема Гёделя.
Несмотря на то, что очень многие математики (и нематематики) слышали о ней, мало кто из них может объяснить, в чем состоит утверждение теоремы Гёделя и тем более как она доказывается. Вместе с тем результат столь важен, а причины, вызывающие неустранимую неполноту (т. е. невозможность добиться того, чтобы каждое истинное утверждение было доказуемо), столь просты, что теорема Гёделя могла бы излагаться на самых младших курсах.
Более того, для понимания доказательства необходимо лишь знакомство с простейшей терминологией теории множеств (словами «множество», «функция», «область определения» и тому подобными) и некоторая привычка к восприятию математических рассуждений, так что оно вполне доступно подготовленному школьнику.
Настоящая книга представляет собой введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики (механика и теория колебаний, теория электрических цепей, радиоактивный распад, лазеры и др.).
Книга рассчитана на читателей, интересующихся естественнонаучными приложениями высшей математики, преподавателей вузов и втузов, а также будущих физиков и инженеров.
Выдающийся полководец гражданской войны, верный сын народа, Г. И. Котовский отдал все силы борьбе за счастье народа, за победу революции. Его имя стоит в одном ряду с легендарными героями М. Фрунзе, С. Буденным, Н. Щорсом, В. Чапаевым. Жизнь коммуниста Котовского — яркий пример верности идеалам партии, идеалам коммунизма.
Арсенал карикатуристов «Крокодила» богат и разнообразен. Мы находим в их работах и гневное обличение, и едкий сарказм, и колкую иронию, и юмористический гротеск, и веселую шутку. Но все эти роды сатирического оружия заряжены одним порохом - смехом, о котором не раз уже было сказано, что он дело серьезное. Настоящий альбом, в котором собрана, естественно, только небольшая часть опубликованных в журнале рисунков, дает, как мне думается, полное и четкое представление о творчестве художников всех крокодильских поколений. Перелистайте сборник не спеша, страницу за страницей, внимательно рассмотрите каждый рисунок, и вы, несомненно, убедитесь, что работы эти носят отнюдь не архивный характер. Нет, они наполнены горячим дыханием времени, в них пульсирует сложная и беспокойная действительность - сама жизнь, преломленная в причудливом и обаятельном искусстве карикатуры.
«… Возьмите наугад любую вещь, и она окажется стандартной. Авторучка, которой писались эти строки, изготовлена по стандарту, бумага стандартна, чернила — их состав, качество — также регламентированы стандартом. Оглянитесь вокруг. Комната наполнена стандартными вещами. Телевизор, радиоприемник, электрическая лампочка, недавно купленая мебель, да и сама комната в новом доме, и сам дом — все это соответствует определенным стандартам. И только старый дедовский шкаф напоминает о том, что так было не всегда…»
В книге собраны задачи, представляющие основной круг идей школьного курса алгебры и начал математического анализа; специальные разделы посвящены комбинаторике и комплексным числам.
Особенностью книги является группировка задач в серии: в каждой серии задачи связаны общей идеей решения и расположены в порядке возрастания трудности. Это расположение материала, а также указания к каждой серии, составляющие вторую часть книги, и вводные замечания к отдельным главам помогут читателю в самостоятельной работе и приобретении навыков математического мышления.
Для школьников, преподавателей, лиц, занимающихся самообразованием, студентов педагогических вузов.
Книга включает около 500 задач по планиметрии, разбитых на два раздела. В первом разделе 140 сравнительно простых задач, которые сопровождаются ответами и могут быть использованы как в классной, так и во внеклассной работе в школе.
Второй раздел включает около 300 задач, собранных по тематике: задачи на вычисление, задачи на доказательство и т. д., а также 62 дополнительные задачи. Задачи этого раздела сопровождаются указаниями и подробными решениями. Они могут быть использованы во внеклассной работе, в работе школьных математических кружков, при подготовке к математическим олимпиадам.
Для школьников, преподавателей, студентов.
Книга подготовлена известными коллекционерами ГДР. В ней излагаются основные сведения о монетах, медалях, бонах и бумажных денежных знаках, которые заинтересуют коллекционеров. Сообщаются сведения о чеканке монет и их обращении. Включены статьи о наиболее известных нумизматах и медальерах, содержатся биографические данные, а также перечень их основных трудов. Иллюстрации в тексте, изображающие монеты и медали, представляют ценность как дополнительный источник информации. Для широкого круга коллекционеров.
Сборник содержит ряд статей и заметок, посвященных публикации и изучению монет античного Причерноморья. Материалы сборника охватывают тысячелетний период — от VI в. до н. э. до III в. н. э. и вводят в научный оборот нумизматические памятники Северного, Восточного, Южного и Западного Причерноморья. Рассматриваются вопросы денежного обращения, монетного дела и монетной техники, суммируются данные о находках монет на побережье Черного моря, исследуются проблемы художественной культуры античных городов Причерноморья. Впервые в отечественной нумизматической литературе монеты многих причерноморских центров рассмотрены в едином комплексе, намечены пути изучения взаимодействия этих центров, взаимовлияния античных городов и окружающих их племен. Для историков, археологов, искусствоведов, нумизматов и всех, кто интересуется материальной и духовной культурой античного мира.
Книга состоит из четырех небольших произведений знаменитого немецкого астронома и математика: «О шестиугольных снежинках», «Разговор с звездным вестником», «Сон» и отрывок из гороскопа «О себе».
Эти произведения Кеплера являются признанными образцами научно-художественной прозы. На русском языке публикуются впервые.
