SCI Библиотека

Этот небольшой сборник, иллюстрирующий книгу С. К. Годунова “Уравнения математической физики”, составлен нами из задач, предлагавшихся студентам Новосибирского университета преподавателями, ведущими семинарские занятия. Задачи разрабатывались А. Б. Шабатовым, Е. В. Мамонтовым, В. В. Смеловым, Ю. Н. Валицким, Б. Г. Романовым и нами.

На упражнениях разбирались обычно стандартные задачи, взятые из задачников М. М. Смирнова “Задачи по уравнениям математической физики” и Б. М. Будака, А. А. Самарского, А. Н. Тихонова “Сборник задач по математической физике”, а также целый ряд задач, предназначенных для иллюстрации лекционного курса, читаемого С. К. Годуновым.

Мы отобрали для этого сборника те из задач, решавшихся на упражнениях в 1969—1972 гг., которые по своему характеру несколько отличаются от задач, входящих в распространённые задачники.

Хочется надеяться, что эта книжка окажется полезным подспорьем как для изучающих основы теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и для преподающих этот предмет.

Книга является тринадцатым выпуском серии учебников «Математика в техническом университете». Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.

Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Книга содержит вводный раздел и следующие основные разделы: анализ в классах разрывных функций, уравнения математической физики, математические вопросы химической физики. Вводный (первый) раздел «Элементы функционального анализа и теории меры», а также ряд параграфов, включенных в основные разделы, дают необходимый подготовительный материал.

Во втором разделе излагается теория функций, производные которых являются мерами. С ее помощью обобщается аппарат классического анализа на разрывные функции. В частности, получаются важные для различных приложений обобщённые формулы Грина. Приведен ряд применений: вывод физических законов сохранения в классах разрывных функций, обобщение уравнения теплопроводности и др.

В третьем разделе содержится теория обобщённых решений краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов. Вопросы разрешимости, устойчивости решений, разложение по собственным функциям, принцип монотонности для обобщённых решений, теория критических значений и др. Благодаря применению изложенного в предыдущем разделе аппарата обобщены известные ранее результаты.

Методы и результаты теории функций комплексной переменной всё шире и глубже проникают в различные теоретические и прикладные дисциплины. Особенно большая и плодотворная работа проведена в этом направлении в Советском Союзе. Благодаря применению этих методов советским учёным удалось получить первоклассные результаты в теории чисел, теории упругости, гидродинамике и др.

В этой книге, на базе теории функций комплексной переменной, развиваются специальные методы для изучения одного класса дифференциальных уравнений эллиптического типа, охватывающего много важных уравнений математической физики.

Эти методы, в отличие от известных общих методов, позволяют глубже проникнуть в природу решений такого рода уравнений и полнее раскрыть их свойства. С их помощью удаётся по-новому поставить и успешно разрешить вопросы как теоретического, так и прикладного характера, связанные с изучением этих уравнений. Авторы уделяют особое внимание исследованию новых и существенно важных вопросов науки, которые успешно решаются за счёт применения описанных методов и дают возможность в ряде практических случаев получить эффективные результаты.

Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского 7 и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б. М. Будака 12.

Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответами.

В главах проведена разбивка на параграфы или методы решений. Все это, правом того, что задачник должен максимально успешно обеспечить доступность элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики.

В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом.
Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в ней излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.

Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д.), а также инженеров.

Предлагаемая книга возникла из курса лекций, читанных известным французским математиком М. Брело в Парижском университете. В ней излагаются основные концепции современной теории потенциала в том виде, как они развиваются французской математической школой со времен А. Пуанкаре и А. Лебега. Изложение ведется в классической форме, т. е. применительно к евклидовым пространствам.

Современная теория потенциала находит важные и все более расширяющиеся применения в теории функций, теории краевых задач математической физики и теории вероятностей.

Эта книга будет полезной для всех математиков и физиков, интересы которых лежат в указанных областях. Для понимания изложения требуется владение основными понятиями математического анализа и теоретико-множественной топологии.

Давно известны примеры дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, все решения которых являются аналитическими функциями своих аргументов. Классический пример представляет уравнение Лапласа.

Одною из своих знаменитых «математических проблем», предложенных в 1900 году на первом международном математическом конгрессе в Париже, Гильберт предугадывал, что «все решения регулярных задач вариационного исчисления являются аналитическими функциями».

В этой монографии изложены основы развитого автором метода интегральных представлений решений линейных уравнений с частными производными. В основе метода лежит получение классов решений этих уравнений из аналитических функций при помощи специальных интегральных операторов.

В книге рассматриваются уравнения и системы с двумя и тремя независимыми переменными (в частности, строится теория гармонических векторов в пространствах, являющаяся пространственным аналогом теории аналитических функций). Специальная глава посвящена уравнениям смешанного типа и уравнениям, коэффициенты которых имеют особенности.

Метод Бергамна успешно применяется в ряде прикладных задач, но возможности его применения еще далеко не исчерпаны. Поэтому книга представляет определенную ценность не только для математиков, занимающихся теорией уравнений с частными производными и теорией аналитических функций, но также и для механиков, физиков и инженерно-исследователей. Она доступна также студентам старших курсов.

Русское издание дополнено переводом трех статей автора, тематика которых примыкает к вопросам, изложенным в книге.

Хорошо известно, что многочисленные проблемы геометрии, вариационного исчисления и механики тесно связаны с краевыми задачами для эллиптических нелинейных уравнений.

В этой книге подробно изучаются взаимосвязи между геометрией и эллиптическими краевыми задачами. Наибольшее внимание уделено первой краевой задаче (задаче Дирихле). Остановимся теперь на методах и результатах, излагаемых в книге.