SCI Библиотека

Книга отличается экономностью изложения и естественностью определений, которые достигаются отделкой доказательств и специальным построением теории. Изложение ведется на конкретном материале и прививает навыки самостоятельного обращения с изучаемыми объектами.

Главы «Теория множеств» и «Действительные числа» могут предшествовать серьезному курсу математического анализа. Дальнейшие главы книги излагают материал, обычно входящий в курс теории функций или дополнительных глав анализа.

Книга предназначена для студентов и аспирантов математических отделений (университетов, пединститутов и вузов с математическими специальностями).

Автор уже известен советскому читателю по переводу его «Основ классической теории потенциала» («Мир», 1964).

В книге дано сжатое и замкнутое изложение ряда вопросов, относящихся к тонкой топологии и пространствам Мартина и ранее не освещённых в монографиях.

Книга представляет интерес для математиков и физиков, занимающихся теорией потенциала, теорией функций и теорией вероятностей. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов.

Понятие функции. Способы задания функций. Определение. Одна величина называется функцией двух пе-ременных величин, если каждой рассматриваемой паре значений этих величин соответствует одно или несколько определённых значений первой величины.

Те две переменные, которые изменяются произвольно (значения которых мы назначаем по нашему выбору), называются независимыми переменными.

Опыт преподавания в течение двух лет по предыдущему изданию «Курса» (издания 1950, 1951 гг.), а также критика со стороны лиц, пользующихся «Курсом» как учебником для студентов высших технических учебных заведений, позволили выявить некоторые его дефекты. Цель переработки и заключалась в устранении этих дефектов. Прежде всего из книги исключено всё, что более или менее значительно выходило за пределы программы по высшей математике для вузов и что нельзя было рассматривать как необходимое углубление программного материала.

Во многих местах книга подверглась большому сокращению за счёт удаления сведений и рассуждений, хотя и уточняющих какие-нибудь положения с чисто математической точки зрения, но затрудняющих усвоение главного предмета.

В ряде пунктов упрощена конструкция изложения, доказательства заменены более простыми и чёткими (см. пункты об асимптотах, о формулах Лагранжа и Коши, о формуле Тейлора, о независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования и др.).

Настоящий труд является введением в теорию непрерывных функций, рассматриваемых как предел полиномов данной системы, например, алгебраических многочленов или тригонометрических сумм. В основе этой теории, объединяющей анализ с алгеброй, лежат идеи Чебышева о наилучшем приближении.

Ныне выпускаемая первая часть посвящена систематическому изложению общих теорем о полиномах наименьшего уклонения и решению основных алгебраических экстремальных задач, существенных для последующих аналитических приложений. Далее, исследуется наилучшее приближение аналитических функций в зависимости его асимптотического значения для функций, имеющих заданные особые точки (алгебраические и логарифмические, а также существенные).

Наконец, в последней главе рассматриваются приближения непрерывных функций всей действительной оси при помощи многочленов и рациональных дробей, причем - приравненные свойствам данных функций соответствующим образом распространяются на определенные классы целых трансцендентных функций.

Небольшая книжка известных американских ученых и крупных авторитетов в области прикладной математики Эдвина Беккенбаха и Ричарда Беллмана входит в серию “Новая математическая библиотека”, издаваемую так называемой “Исследовательской группой по школьной математике” Американского математического общества и рассчитанную на самую широкую читательскую аудиторию, начиная со школьников средних классов.

Новые разделы прикладной математики развивались при интенсивном участии Э. Беккенбаха и Р. Беллмана; это вызвало у авторов настоящей книги глубокий интерес и к чисто математическим вопросам теории неравенств, выражением которого явилась их серьезная математическая монография [2*] на эту тему, переведенная ныне и на русский язык.

Совсем иной характер имеет эта небольшая книжка, в которой авторы ограничиваются минимальными материалами, подобранными, с большим вкусом и способными заинтересовать начинающего читателя.

Задачник-практикум предназначен для студентов-математиков заочных отделений педагогических институтов. Он составлен в соответствии с действующей программой курса “Математический анализ и теория функций” и охватывает раздел “Теория аналитических функций”.

Значительно большее внимание по сравнению с другими сборниками подобного рода здесь уделено упражнениям, которые могут быть использованы на факультативных занятиях в школе, и упражнениям, позволяющим учителю более глубоко осмыслить отдельные вопросы школьного курса математики.

В начале каждого параграфа указана литература, в которой читатель найдет необходимый минимум теоретических сведений. Студенту-заочнику достаточно воспользоваться одной (любой) из трех книг [1] — [3].

Проблема моментов связана с многими вопросами математического анализа и теории функций: квадратурными формулами, непрерывными дробями, ортогональными полиномами, интерполяционными задачами теории функций комплексного переменного, квазианалитическими классами и абсолютно монотонными функциями, спектральной теорией операторов и мн. др.

Настоящая книга предназначена широкому кругу читателей, начиная со студентов старших курсов и аспирантов физико-математических специальностей университетов и пединститутов, преподавателям математических факультетов университетов и пединститутов, а также научно-исследовательским работникам в областях анализа, теории функций, теории вероятностей и др.

Предметом настоящей книги являются некоторые специальные вопросы, относящиеся к так называемой проблеме моментов, которые по тем или иным причинам попали в поле интересов авторов.

Книга разбита на отдельные статьи, которые в основном читаются независимо одна от другой; однако, не следует думать, что эти статьи не связаны между собой, наоборот, между ними есть тесная связь и статьи расположены в известной логической последовательности.

Основная статья (L — проблема моментов) своим отправным пунктом имеет некоторые (мало известные) идеи и проблемы, выдвинутые покойным академиком А. А. Марковым [13 b, c, d]*. В ряде работ авторы [1 a — l] завершили и обобщили результаты А. А. Маркова, связав их с современными теориями, которые А. А. Маркову, по-видимому, были неизвестны.

Следующие три статьи трактуют в свете функционального анализа некоторые из вопросов, решенных или затронутых в первой статье.

Венгерский академик Г. Алекcич является признанным специалистом в теории функций действительного переменного. Предлагаемая вниманию читателя его монография освещает современное состояние теории суммируемости и сходимости ортогональных рядов. Наряду с известным материалом книга содержит новейшие результаты из указанной теории.

Последовательное и подробное изложение делает книгу доступной для первоначального чтения. Предполагается лишь, что читатель знаком с основами теорий интегралов Лебега и Лебега — Стиэлтьеса. Вместе с тем имеющийся в книге свежий материал, а также постановка ряда проблем представляет большой интерес и для специалистов — математиков.