SCI Библиотека

Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник в результате преподавания в Ленинградском государственном университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов при прохождении ими основного курса высшей алгебры.

Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, собрано большое количество численных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для контрольных работ.

В основу настоящего сборника положен «Сборник задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, 2-е издание (1949 г.), в дальнейшем издававшееся стереотипно. Однако он существенно переработан. Включены два новых отдела — элементы теории чисел и элементы теории групп, сильно тематически расширены отделы, посвященные линейной алгебре. Во все главы включены примеры, связанные с полями и кольцами вычетов. Много задач исключено.

Изменена и планировка глав. По-прежнему сохранено два концепта в линейной алгебре: первый (главы III, IV) носит формально-калькулиативный характер, а второй (глава VIII) геометрический. Сокращены подробные решения. Для задач, снабженных указаниями (они отмечены звездочкой), текст решения часто является непосредственным продолжением текста указания.

Книга посвящена численным методам решения задач алгебры, в основном методам отыскания собственных значений матриц и соответствующих им собственных векторов. Однако в ней достаточно полно представлены методы решения и других задач алгебры, таких как решение систем линейных алгебраических уравнений, отыскание корней функций и т. д. Книга состоит из девяти глав.

В главах I, II излагается вспомогательный материал, содержащий основы теории линейной алгебры.

Главы III, IV, V содержат анализ ошибок округления простейших операций, некоторых линейных преобразований, методов решения систем линейных уравнений. Материал этих глав является фундаментом всех дальнейших исследований.

Главы VI, VII содержат описание и анализ ошибок метода приведения общей матрицы к матрице специального вида. Рассматриваются методы решения полного приведения собственных значений этих матриц.

В главах VIII, IX излагается обширный материал с анализом ошибок по решению полного привода собственных значений степенными методами.

В предлагаемом выпуске печатаются работы, относящиеся как непосредственно к теории решеток, так и к ее приложениям в различных областях алгебры.

Сборник может быть полезен научным работникам, аспирантам и студентам, занимающимся или интересующимся общей алгеброй.

В четвертом выпуске сборника помещаются работы, посвященные как непосредственно изучению упорядоченных множеств и решеток, так и исследованию свойств, связанных с упорядоченностями различных алгебраических систем.

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов алгебраических специальностей.

В предлагаемоm выпуске сборника «Упорядоченные множества и решетки» помещается серия обзоров по теории решеток (структур). Эти обзоры составлены в основном по материалам реферативного журнала «Математика» за период с начала 1969 г. по июнь 1973 г. включительно. Они тесно связаны с предыдущими обзорами по теории решеток (структур), появившимися в серии «Итоги науки».

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, которые занимаются современной алгеброй.

Настоящая монография представляет собой, быть может, первое по времени, связное изложение теории всех типов обобщенных групп. Сюда вошли как мои собственные исследования, изложенные частью в моей диссертации,¹ частью в отдельных моих работах, помещенных в разных математических журналах, так и исследования других математиков, посвященные обобщенным группам.

Несмотря на мои старания охватить предмет как можно полнее, я, конечно, не могу претендовать на исчерпывающую полноту; могу только сказать, что использовал всю доступную мне литературу, относящуюся к обобщенным группам, и считал необходимым дать читателю хотя бы небольшое представление о всех известных мне типах обобщенных групп.

В настоящей книге изложены классические результаты о строении нормальных делителей полной линейной группы над телом, теоремы Бернсайда и Шура о периодических линейных группах, теорема о нормальном строении SL(n, Z) при n > 2. Кроме того, здесь содержится теория разрешимых, нильпотентных и локально нильпотентных линейных групп. Более полное представление о содержании дает следующий обзор ее глав.

В первой главе речь идет о группах подстановок (конечных и бесконечных). После изложения начальных сведений устанавливается связь теории примитивных разрешимых групп подстановок (не обязательно конечной степени) с теорией разрешимых линейных групп над простыми полями. Здесь же изучаются нильпотентные и локально нильпотентные группы подстановок.

Дано, например, полное описание максимальных нильпотентных подгрупп симметрической группы конечной степени. Доказана, например, теорема о сопряженности максимальных транзитивных нильпотентных подгрупп конечной симметрической группы.

Книга известного американского математика, содержащая весьма полное и последовательное изложение идей, методов и результатов современной алгебраической топологи, включая теорию гомотопий, гомологий, теорию препятствий и т. д. После каждой главы приводятся упражнения, удачно дополняющие основной текст. От читателя не требуется почти никаких предварительных знаний в этой области.

Книга может служить как учебником, так и справочником по алгебраической топологии и будет полезна весьма широкому кругу математиков, начиная со студентов младших курсов.

Книга написана на основе лекций американского математика Р. Стейнберга, прочитанных им в Йельском университете (США). Хотя объем книги невелик, в ней дано, по-видимому, наиболее полное из существующих изложение теории групп Шевалле — одного из важных разделов математики, объединяющего идеи алгебры, анализа и теории чисел.

Она будет интересна широкому кругу математиков. Написанная одним из ведущих специалистов, она вполне доступна студентам университетов и педагогических институтов.