Эта книжка предназначена для школьников, любящих решать трудные задачи. Так же как и выпущенный ранее сборник «Математические задачи» (*), она написана по материалам Вечерней математической школы при механико-математическом факультете МГУ. В нее включены алгебраические и логические задачи, дававшиеся на конкурсах ВМШ в 1964—1966 гг.
Подбором задач руководили в 1964/65 учебном году Н. Васильев, в 1965/66 учебном году — Л. Гончарова, А. Толпыго, Б. Фишман, И. Яглом, в 1966/67 учебном году — Б. Григорьев, С. Гусейн-заде и И. Евстигнеев. К задачам, дававшимся в ВМШ, авторы добавили около 30 новых задач. Задачи сгруппированы в тематические циклы (перечень циклов приведен на стр. 3). Внутри цикла алгебраические задачи расположены обычно по возрастающей трудности. Задачи без решений помещены в специально разделе «Дополнительные задачи».
Современная математика все шире и глубже стала применяться в различных областях науки, техники и практической деятельности человека. Она за последние десятилетия так шагнула вперед, что и взгляды на ее основные идеи и методы коренным образом изменились.
В этих условиях и традиционный школьный курс математики не может более оставаться неизменным.
Поэтому из года в год все больше и больше усиливаются требования о коренной перестройке этого курса, усовершенствования его методов преподавания, активизации процессов обучения, лучшей организации самостоятельной и внеклассной работы и т. п. Однако, все эти и другие важные вопросы, связанные с методикой обучения математике в общеобразовательной школе, могут правильно решаться «при самом верном отношении к накопившемуся ценному опыту работы школы».
Такой долголетний передовой опыт преподавания математики в средней школе хорошо и достаточно полно отражен на страницах журнала «Математика в школе».
Новым временем нередко условно называют XVII и XVIII века. В Европе, и прежде всего в экономически более развитых государствах, в эту пору укреплялся новый общественный строй — капитализм.
Составной частью этого процесса была техническая революция — переход от мануфактурной промышленности к фабричной и целая серия изобретений, среди которых особое место заняло создание паровой машины. Ф. Энгельс писал, что это орудие «в большей мере, чем что-либо другое, будет революционизировать общественные отношения во всем мире» и «сначала доставит буржуазии социальное и политическое господство, а затем вызовет классовую борьбу между буржуазией и пролетариатом». Приход к власти буржуазии происходит в острой идеологической и политической борьбе, и на ряде стран для этого потребовался революционный взрыв.
В Англии буржуазная революция завершилась к середине XVII в., в растянутом виде продолжалась до конца XVIII в.; революции в Нидерландах конца XVI в., закончившиеся испанским владычеством, и революции во Франции и странах Центральной Европы в течение XIX в. Новое время было неотделимо от индустриальной революции. Цепную реакцию великих преобразований во всех областях естествознания начали географические открытия XV-XVI вв., связанные между собой с объединением людям территории нашей планеты.
В настоящем сочинении изложена история математики до начала XIX в. Написанный коллективом советских ученых, этот труд отражает основные общие установки советской школы историков математики. Поступательное движение математики рассматривается не только как процесс создания все более совершенных идей и методов исследования пространственных форм и количественных отношений действительного мира, но и как социальное явление. Раз уже возникшие математические структуры всегда развиваются в той или иной мере самостоятельно, но это саморазвитие происходит в условиях и на основе практической деятельности людей и определяется, иногда непосредственно, иногда в конечном счете, потребностями общества.
Учитывая эти обстоятельства, авторы ставили своей задачей, с одной стороны, установить движущие силы прогресса математики и с этой целью исследовать ее взаимосвязь с общественным базисом, техникой, естественными науками, философией. С другой стороны, анализируя внутренний ход событий в истории математики, авторы стремились определить достижения и пределы математических методов в различные периоды истории. Это, естественно, налагает на всю работу алгебраический основной оценок.
Так, успешное всестороннее изучение генезиса некоторых математических идей и концепций (например, числа и формулы Лиувилля, теории суммирования рядов, понятия функции, числа и ряда, дробных разностей, подобных жекобиянов, и др.) приводит к более правильной расстановке в истории концепций и показу возникших, чем прежде, динамики и приближенных методов старых времен.
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образуют категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры.
За последние годы за рубежом появилось несколько монографий, содержащих систематическое изложение основ теории категорий и некоторых ее достижений, относящихся, как правило, к абелевым категориям. Некоторые результаты, относящиеся к абелевым категориям, можно найти в книгах А. Гротендика [3], А. Картана и С. Эйленберга [4], С. Маклейна [10], переведённых на русский язык. В этих книгах категорией пользуются как вспомогательный аппарат для гомологической алгебры. Интересное и глубокое изложение теории абелевых категорий можно найти в книгах П. Фрейда [13], Б. Митчела [11] и П. Габриэля [2].
Известный американский математик М. Холл уже знаком советскому читателю по изданным в русском переводе книгам — «Теория групп» (ИЛ, 1962) и «Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга является наиболее полным изданием в области комбинаторного анализа.
Она состоит из трех основных частей: проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные с ними вопросы и проблемы существования и построения блок-схем. Книга написана на высоком научном уровне и освещает самые новейшие достижения в области комбинаторики.
Она доступна весьма широкому кругу читателей и, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей.
Авторы книги — известные польские математики, внесшие большой вклад в теорию множеств, топологию, математическую логику.
Книга содержит современное изложение общей теории множеств; изложение ведется на основе системы аксиом Цермело — Френкеля. Многочисленные примеры и упражнения удачно иллюстрируют применение теоретико-множественных методов в других областях математики, в первую очередь в алгебре и топологии. Заключительная глава книги служит введением в дескриптивную теорию множеств.
Высокие научные и методические достоинства книги делают ее весьма ценным учебным пособием по теории множеств. Она, несомненно, заинтересует студентов, аспирантов и научных работников различных математических специальностей.
В настоящее время интенсивно развивается конструктивное направление в математике, в частности, конструктивный математический анализ. Р. Л. Гудстейн является автором весьма интересного и своеобразного подхода к построению некоторых фрагментов конструктивного математического анализа.
Этот подход существенно отличается (как по общему замыслу, так и по характеру центральных понятий) от подходов, использованных другими математиками; он тесно связан с введенным Гудстейном исчислением равенств, представляющим собой аксиоматический фрагмент теории рекурсивных арифметических функций, обладающий рядом важных достоинств.
Аксиомы исчисления равенств и выводимые в этом исчислении объекты представляют собой формулы вида T₁ = T₂, где T₁ и T₂ — функциональные выражения (термы), составляемые обычным способом из натуральных чисел, предметных переменных (допустимыми значениями которых считают натуральные числа) и знаков примитивно рекурсивных функций *).
В Подмосковье насчитывается около 2000 рек и речек, более 350 озер и цепь больших водохранилищ — раздолье для любителей рыбной ловли! И не удивительно, что в любое время года, в любую погоду можно встретить человека с удочкой. «Великое племя рыболовов», по выражению Аркадия Гайдара, объединяет в своих секциях в спортивных обществах около 200000 любителей рыбной ловли Москвы и Московской области. Ведь ужение давно стало одним из наиболее полезных видов спорта и активного отдыха. На древних ассирийских плитах археологи нашли отнюдь не случайную надпись: «Боги не засчитывают в счет жизни время, проведенное на рыбной ловле». Итак, вы стали рыболовом. Но ведь вы не ветеран и не знаете, куда лучше всего отправиться на рыбалку, где и какая рыба водится и «на что берет». При входе в специализированный магазин у вас разбегаются глаза от множества удилищ разной длины, изобилия сверкающих блесен и крючков, мотков лесы разного цвета и толщины. Просто не знаешь, что купить для первого раза. Вот тут-то и придет начинающим рыболовам на помощь этот справочник, в котором читатель найдет подробное описание водоема, его рыбного богатства, проезда к нему. В книге приводятся адреса специализированных магазинов «Рыболов-спортсмен», полезные советы по экипировке, снаряжению, сохранению пойманной рыбы и приготовлению рыбных блюд.
«В народном хозяйстве СССР охотничье хозяйство, как отрасль социалистического хозяйства, занимает видное место. Оно связано не только с добычей пушнины и мяса диких птиц и зверей, но и с проведением плановых мер по увеличению численности диких птиц и зверей, являющихся достоянием государства. Охотничье хозяйство обеспечивает пушниной отечественную мехообрабатывающую промышленность страны. Советские меха на международном рынке занимают первое место в мире как по количеству, так и по качеству. Помимо пушнины, оно дает большое количество высококачественного мяса диких птиц и зверей.»
