Многие важные задачи современной аналитической теории чисел могут быть сформулированы в терминах элементарной математики и понятия предела или даже просто понятия безгранично возрастающего параметра.
Таков, например, закон простых чисел, теорема И. М. Виноградова о том, что все достаточно большие нечетные числа — суммы трех простых чисел, и количество соответствующих представлений выражается простой предельной (асимптотической) формулой, теоремы о счете целых точек внутри расширяющихся контуров, о поведении дробных частей последовательностей и многие другие.
Вместе с тем решение соответствующих, формулируемых в простых терминах проблем часто требовало весьма сложных и на первый взгляд далеких от теории чисел средств.
Теория трансцендентных чисел сформировалась как теория, имеющая свои специфические методы и достаточное количество уже решенных проблем, только в XX веке. Отдельные постановки проблем этой теории существовали давно, и первая из них, насколько нам известно, принадлежит Л. Эйлеру.
Проблема приближения алгебраических чисел рациональными дробями или, более обще, алгебраическими же числами также может быть отнесена к теории трансцендентных чисел, несмотря на то, что изучение приближения алгебраических чисел рациональными дробями стимулировалось проблемами теории диофантовых уравнений.
Целью настоящей монографии является не только показать современное состояние теории трансцендентных чисел и изложить основные методы этой теории, но и дать представление об историческом развитии ее и о тех связях, которые существуют между этой теорией и другими проблемами теории чисел.
Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда.
Так называемый неопределенный или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений, удовлетворяющих неопределенному уравнению, выбирать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев ещё и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную её часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом.
Предлагаемая книга, составленная на основе лекций, которые я многократно читал в Базеле, Геттингене и Гамбурге, имеет своей целью, не предполагая у читателя никаких предварительных сведений из теории чисел, подвести его к пониманию вопросов, стоящих в центре внимания современной теории алгебраических числовых полей.
Первые семь глав по материалу не содержат ничего нового. Что же касается формы изложения, то при выборе её я исходил из современного развития математики и особенно арифметики и прежде всего всюду использовал способы выражения и метод теории групп, чтобы дать возможность получить существенные формальные и идейные упрощения, необходимые для этого теоремы о конечных и бесконечных абелевых группах, изложены во второй главе.
Все же и специалист, быть может, найдёт кое-что интересное в деталях, как, например, доказательство фундаментальной теоремы об абелевых группах, выраженных относительными дискриминантами, при помощи следа первообразных по методу Дедекинда (§§ 36, 38), и определение числа классов без помощи дзета-функции (§ 50).
В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ. Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н. М. Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа.
Книга доступна школьникам старших классов.
В книге рассматриваются центральные проблемы аналитической теории чисел, решающая роль в исследовании которых принадлежит специальным вариантам известного метода автора, изложенного в монографии «Метод тригонометрических сумм в теории чисел».
Эти варианты и сами являются мощным средством решения широкого круга задач теории чисел. Книга будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам, желающим серьёзно заниматься теорией чисел.
Что в этой книге содержится, как она написана и какие требования предъявляет к читателю?
Начну с последнего. Предполагается прежде всего, что читатель владеет элементарной математикой в объеме курса средней школы. В некоторых главах от читателя требуется сверх того знакомство с теорией пределов и с понятием функции, скажем, такое, какое дается во всяком курсе математического анализа.
Этим требования к читателю в отношении его математических знаний исчерпываются. Но зато сравнительно большие требования предъявляются к уровню его математического развития. Самый характер трактуемых вопросов предполагает наличие у читателя довольно значительных навыков в области абстрактного логического мышления и умения ориентироваться в методологической стороне дела.
С другой стороны, я старался вести изложение так, чтобы самостоятельная работа и творческая инициатива могли привести к освоению сведений, развитию и укреплению указанных навыков и ориентиров.
Монография одного из крупнейших современных математиков, написанная на основе курса лекций, прочитанного автором в Принстонском университете.
Содержит изложение теории алгебраических чисел, в том числе теории полей классов, являющееся, по-видимому, на много лет окончательным. Книга представляет интерес не только для специалистов по теории чисел, но и для математиков, занимающихся алгебраической геометрией, теорией автоморфных функций и т. д. Она написана очень четко и доступна студентам старших курсов.
Ряд русских математиков — Чебышев, Коркин, Золотарёв, Марков, Вороной и другие — занимался теорией чисел. Ознакомиться с содержанием классических работ этих замечательных учёных можно по книжке Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чисел».
Советские математики, работающие в области теории чисел, продолжая славные традиции своих предшественников, создали новые мощные методы, позволившие получить ряд первоклассных результатов; в разделе теории чисел книги «Математика в СССР за 30 лет» можно найти сведения о достижениях советских учёных в области теории чисел, а также соответствующие библиографические данные.
Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел на физико-математических факультетах педагогических институтов и в университетах.
Теоретико-числовые вопросы вызывают интерес не только у специалистов математиков, но и у значительно более широкого круга людей, задумывающихся над отдельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, развивающий тот небольшой обязательный курс, который проходит всеми студентами-математиками педагогических институтов.
Этот дополнительный материал может быть использован при организации работы спецсеминаров, а также в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел.
