Журналисты любят писать о физиках с их огромными синхрофазотронами, мощными лазерами, сверхпроводящими материалами. Любят рассказать и об инженерах. Охотно поведают о химиках, создающих новые материалы; о биологах, постигающих тайны жизни. А вот о математиках писать не любят. Нет здесь ничего впечатляющего. Ну, доказал математик десяток-другой теорем, так ведь их не только понять - произнести трудно, язык сломаешь о специальные термины, которыми напичкана эта наука. Вот и остается математика все время как бы в тени. А ведь новых результатов в математике ждут и физики, и химики, и биологи, и инженеры. И не только ждут, а включают математиков в свои исследовательские группы. Потому что математика позволяет с помощью формул записать любые явления, а из этих формул потом можно получить столько информации об объекте исследования, сколько не получишь и из сотни наблюдений. Писать о математике трудно. Каждая ее теорема опирается на другие теоремы, как кирпичи высокой башни, и для того чтобы добраться до верхних рядов, приходится карабкаться по высокой отвесной стене, осваивая достижения предыдущих поколений математиков. Однако о некоторых современных методах математики иногда удается рассказать и неспециалисту, что я и попытался сделать в этой книжке. Небольшие рассказы, из которых составлена книга, можно читать в любом порядке, но в каждой главе первые рассказы попроще, а последние потруднее.
В настоящую книгу включены четыре большие статьи А. Пуанкаре о линейных дифференциальных уравнениях и об автоморфных функциях, а также две статьи по алгебраической геометрии, ряд работ Пуанкаре по электродинамике, теории относительности, теории квантов и кинетической теории газов.
Том завершается обзорами математических и естественнонаучных работ Пуанкаре, написанными им самим и другими математиками и физиками: Л. де Бройлем, Ж. Адамаром, Г. Жюлиа, А. Вейлем, Г. Фрейденталем и Л. Шварцем.
В настоящую книгу включены два первых тома «Новых методов небесной механики». Третий том войдёт во вторую книгу настоящего издания. Этот капитальный труд замечательного французского математика и физика публикуется на русском языке впервые.
В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре разработал теорию интегральных инвариантов, построил теорию асимптотических разложений, исследовал периодические орбиты, внёс значительный вклад в решение ряда других задач прикладной математики, механики, астрономии. Это произведение, ставшее классическим, оказало большое влияние на развитие точных наук и не потеряло своего значения и в наши дни.
В настоящую книгу входит третий том «Новых методов небесной механики», а также вторая часть мемуара «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики», послужившего основой создания «Новых методов небесной механики».
Кроме того, в книгу включены классические работы А. Пуанкаре по топологии и мемуары «О геодезических линиях на выпуклых поверхностях» и «Об одной геометрической теореме», которые примыкают и к «Новым методам небесной механики» и к топологическим работам А. Пуанкаре.
В настоящий том входят также арифметические работы А. Пуанкаре «О тернарных и кватернарных кубических формах» и «Об арифметических свойствах алгебраических кривых».
Книга посвящена роли математики в познании человеком окружающего мира. На примере творческих биографий трёх выдающихся российских математиков XX века — А. Н. Колмогорова, С. Л. Соболева и А. Н. Тихонова — популярно рассказано о достижениях современной математики.
Для студентов, изучающих курс высшей математики, учителей и преподавателей математики.
Дмитрий Матвеевич Синцов был одним из выдающихся отечественных геометров. Он внес значительный вклад в развитие отечественной математики. Классические работы Д. М. Синцова по теории коннексов, одним из основоположников которой он является, известны далеко за пределами нашей Родины. Им создана харьковская геометрическая школа, ведущая на Украине.
Автор многочисленных вузовских учебников по математике, Д. М. Синцов оказал известное влияние на преподавание математики в вузах и средних школах Украины. Газета «Правда» в 1938 году в передовой статье «Науку — на службу стране» отмечала: «Кто в СССР не знает… профессора-математика Д. М. Синцова, на днях открывавшего сессию Верховного Совета УССР, выдающегося педагога, посвятившего свою жизнь сталинской задаче воспитания молодых научных кадров».
Со дня смерти Николая Ивановича Лобачевского прошло более девяноста лет; уже через пятнадцать лет после его кончины имя его было на устах математиков всего мира; и все же сведения о жизни Лобачевского довольно скудны.
Первым кратким его жизнеописанием была брошюра, принадлежащая покойному профессору Казанского университета Э. П. Янушевскому и воспроизводящая в расширенном виде речь, которую автор произнес на торжественном заседании Казанского университета 5 (17) ноября 1868 г.; это было первое заседание, посвященное памяти великого геометра после того, как имя его появилось на страницах мировой печати.
Составленная лицом, работавшим в Казанском университете при жизни Лобачевского, тщательно собравшим для нее материал, эта брошюра и по настоящий время сохраняет для биографии Лобачевского очень важное значение.
К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчисление было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обобщить полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.
Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно выяснилось, что некоторые основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к тому, что рядом выдающихся математиков высказывались нередко ошибки. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основах анализа.
Примеры дифференциальных уравнений. Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п.
При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планет или звезд нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.
Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть, говоря вообще, весьма различной. Однако мы ограничимся здесь наименее сложным (с точки зрения функционального анализа) их видом — дифференциальными уравнениями, функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая новое задание функций.
Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему развитых дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит мощным орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.
Коллектив авторов при составлении этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.
