В основу данного курса положены лекции, читавшиеся И. М. Гельфандом на механико-математическом факультете МГУ. Однако содержание книги значительно выходит за рамки материала, фактически излагавшегося на лекциях. Авторы ставили своей целью изложить основы вариационного исчисления в доступной и в то же время достаточно современной форме. Значительное внимание в книге уделено физическим применениям вариационных методов — каноническим уравнениям, вариационным принципам механики, законам сохранения и т. д.
Читатель, желающий ознакомиться лишь с самыми основными понятиями и методами вариационного исчисления, может ограничиться изучением одной первой главы. Совокупность первых трех глав образует несколько более обширный, но все еще достаточно элементарный курс основ вариационного исчисления (в рамках одних лишь необходимых условий экстремума). Наконец, главы I — VI составляют более или менее обычный по объему университетский курс вариационного исчисления (с некоторыми примечаниями в механике систем с конечным числом степеней свободы), включаящеи круг вопросов мало сколько отличны от общих изложений и достаточно условие слабого и сильного экстремума.
Конечные главы книги посвящены применениям вариационного исчисления к полям в неограниченной степени свободы. В восьмой главе кратко изложены применение теории вариационного исчисления.
Авторы благодарны М. А. Егварову и А. Г. Костюченко, которые прочли книгу в рукописи и сделали ряд полезных замечаний.
Предлагаемая вниманию читателей книга Блисса «Лекции по вариационному исчислению» заполняет существенный пробел в математической литературе, посвящённой вариационным задачам. В ней с исчерпывающей полнотой изложены результаты так называемого «классического» направления в вариационном исчислении, развивающего и обобщающего методы, восходящие ещё к Якоби и Вейерштрассу.
В первой, более элементарной части книги дано весьма полное и строгое изложение задачи об исследовании на безусловный минимум функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных функций одной независимой переменной. Вторая, наиболее интересная часть книги посвящена задачам на условный экстремум функционалов того же типа. В ней с исключительной чёткостью изложена теория наиболее общих задач на условный экстремум, причём многие результаты впервые излагаются в учебной литературе.
Книга Блисса, безусловно, представляет значительный интерес и учащимся вузов, и аспирантам, и студентам физико-математических факультетов. Однако наряду с этим она имеет один существенный недостаток — она может создать совершенно ложное представление о роли русских и советских ученых в развитии вариационного исчисления. На протяжении всей книги отсутствуют даже упоминания о трудах петербургского кружка Эйлера, ни разу не упоминаются работы русских и советских ученых.
Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наименьшей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости? Для математической формулировки фиксируем две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) на плоскости xy, считая x1 < x2, и рассмотрим гладкую кривую.
Эти лекции я читал несколько раз на механико-математическом отделении физико-математического факультета Харьковского государственного университета. В соответствии с существующими программами и общими задачами университетского преподавания я стремился не столько к подробной трактовке всех задач вариационного исчисления, сколько к ознакомлению студентов с проблематикой и главными методами вариационного исчисления — классическими и прямыми.
Поэтому в основном тексте полному разбору подвергнуты лишь главнейшие проблемы. Частично этот пробел восполняет раздел “Различные дополнения и упражнения” (коротко: Дополнения). Для большей компактности туда же отнесены и классические примеры вариационного исчисления. Рядом с номерами параграфов Дополнений указаны в скобках те параграфы основного текста, с которыми он в первую очередь связан.
В книге в справочной форме впервые приведены результаты систематического исследования вариационных принципов теории упругости и оболочек в соответствии с теорией преобразования вариационных проблем Куранта и Гильберта.
Наряду с систематизацией известных вариационных принципов, книга содержит новые результаты и обобщения. Получена система полных и частных функционалов, в том числе смешанных. Изучены свойства функционалов не только с позиции стационарности, но и экстремальности. Выявлены экстремальные и минимаксные свойства ряда известных и новых функционалов. Установлена вариационная форма статики-геометрической аналогии в теории оболочек. Результаты обобщены на ребристые, многосвязные, многослойные и другие неосесимметрично-анизотропные оболочки и могут быть использованы для решения ряда сложных задач.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов, инженеров, студентов университетов и институтов, занимающихся вариационными и различных областях механики сплошных сред, строительных, самолетных, гидротехнических, летательных и других конструкций.
Эта книга была написана в процессе подготовки к занятиям со студентамифизиками в феврале 2004 года, которые я провел в Университете города Акрон США, когда находился там по приглашению доктора Сергея Ф. Люксютова в рамках программы COBASE при поддержке Национального Совета по Исследованиям США. Эти четыре класса (четыре занятия по 1 часу 20 минут без перерыва) были проведены в рамках общего курса электромагнетизма как введение в тензорные методы.
Книга написана в стиле “сделай сам”, то есть я даю только наброски теории тензоров, что включает формулировки определений и теорем, а также основные идеи и формулы. Вся остальная работа, такая как проверка корректности определений, вывод формул, доказательство теорем или же отработка деталей в доказательствах, оставлена читателю в форме многочисленных упражнений. Я надеюсь, что такой стиль сделает изучение предмета действительно быстрым и более эффективным для восприятия и запоминания.
Электронная версия книги свободно распространяются в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.
Книга представляет собой учебное пособие по основному курсу дифференциальной геометрии и предназначена для первоначального знакомства с этой дисциплиной.
Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TEX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TEX’а.
Теория конгруций прямых появилась на свет почти одновременно с теорией поверхностей. Вопросы геометрической оптики подвели непосредственно к исследованию нормальной конгруенции, например, к задаче отражения или преломления нормальной конгруенции лучей. Проблема прохождения света через кристаллы вводит уже конгруенцию общего типа.
Аннотируемая книга представляет собой первое в нашей литературе сочинение по проективно-дифференциальной геометрии. Начиная с простейших понятий проективной геометрии, автор подробно излагает общую теорию (работы Вильчинского, Грина, Фубини, Чеха и др.), развивая ряд специальных вопросов геометрии поверхностей и конгруций (проективное изгибание поверхностей и конфигураций, асимптотические преобразования, расстояние пары конфигураций). Во всех исследованиях автор реализует общую идею выбора специальных систем локальных координат, инвариантно связанных с геометрическими объектами.
Книга рассчитана на читателя, вполне владеющего основами анализа и дифференциальной геометрии. Основной контингент её читателей — студенты, интересующиеся геометрией, аспиранты и научные работники.
Метод внешних форм и подвижного репера — одна из наиболее ярких, многообещающих теорий современной дифференциальной геометрии. Он применяется с одинаковой лёгкостью в классической теории поверхностей и в геометрии n-мерного кривого пространства; им особенно удобно пользоваться в геометриях Клейна с другой фундаментальной группой, а при доказательстве существований он незаменим.
В настоящее время, если не считать мемуаров самого Картана, не менее половины работ, основанных на применении его φ-исчисления, сделано в Москве. Докторские диссертации Д. И. Перепёлкина, С. В. Вахвалова и отчасти С. Д. Россинского написаны методом Картана. Этим методом пользуется С. С. Бюшгенс в своём последнем большом исследовании по геометрии стационарного потока. Им работает Г. Ф. Лаптев на своём семинаре по геометрии пространства.
На семинарах Московского университета Н. Н. Тихонскоги, В. М. Прокофьева, Н. А. Алексеева, Т. Л. Козминой и ряд статей других авторов (П. Н. Глаголев, Т. А. Шульман, Г. М. Бамашникова, А. М. Васильева, А. А. Акинчина) — и в докладных записках, и в стенограммах докладов записанных на семинарах классической дифференциальной геометрии Московского университета.
