В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько изменённом виде — в Московском институте усовершенствования учителей.
Тема “Возвратные последовательности” близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория), законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром [имя которого носит формула: (cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na) и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям (рядам) тринадцатую главу своего “Введения в анализ бесконечно-малых” (1748)). Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым).
Сборник избранных статей о школьной математике и ее приложениях.
Включен большой и разнообразный материал о профессии математика, о фундаментальных понятиях школьной математики, о теории вероятностей, алгоритме Евклида, о решении 10-й проблемы Гильберта, о связи математики с другими науками и техникой и т.д.; приведен ряд интересных задач. Имеется также специальный раздел для учителей, в котором содержатся лекции по научным основам школьного курса математики.
Для школьников, учителей, студентов.
Прослеживается история методов нахождения наименьших и наибольших величин от глубокой древности до наших дней. Подробно излагаются решения многих замечательных задач на максимум и минимум, принадлежащие великим математикам прошлых эпох ? Евклиду, Архимеду, Герону, Тарталье, Ферма, Кеплеру, Бернулли, Ньютону и др. Говорится о зарождении многих идей, заложивших основания современного анализа. Объясняются связи экстремальных задач с проблемами естествознания, техники и экономики, рассказывается об основных принципах современной теории экстремальных задач и приводятся решения задач алгебры, геометрии, анализа.
Для школьников, учителей, студентов, преподавателей.
Популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа. Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел, именно комплексные числа и кватернионы. Доказано, что других логически возможных величин, аналогичных действительным и комплексным числам и пригодных к употреблению в математике в роли чисел, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Затем рассматриваются другие обобщения понятия числа, уже не содержащие действительных чисел.
Для школьников и учителей.
Многие спортивные ситуации целесообразно рассматривать, анализировать и оценивать с математических позиций. Некоторые из таких ситуаций, поддающиеся изучению методами прикладной математики, рассмотрены в настоящей книге. Изложение ведется на двух уровнях. На одном — в описательной форме приведены постановки задач и указаны методы их решения. На другом уровне построены математические модели поставленных задач, рассмотрен, с той или иной степенью подробности и строгости, необходимый математический аппарат, знакомство с которым можно продолжить по специальной литературе.
Для школьников, спортсменов, тренеров, преподавателей математики и физкультуры.
Сборник содержит 340 задач по стереометрии и состоит из двух разделов. В первом разделе помещены в основном задачи вычислительного характера. Сюда же включены в виде задач некоторые теоремы и факты стереометрии, непосредственно примыкающие к школьному курсу. Во втором разделе собраны различные геометрические факты, неравенства, задачи на геoмeтpические места точек, элементы геометрии тетраэдра и сферической геометрии. Они могут быть использованы во внеклассной работе, при подготовке к математическим олимпиадам.
Для школьников, преподавателей, студентов.
В популярной форме книга знакомит читателя с основными понятиями в идеями теории эффективного и помехоустойчивого кодирования ? важного направления математики. Имея своими первоисточниками криптографию (искусство засекречивания истинного содержаний сообщения), но главным образом решая различные проблемы, возникающие при передаче информации по линиям связи, теория кодирования в настоящее время выросла в обширную и разветвленную область знания со своим кругом объектов и задач.
Не ставя перед собой цели систематического изложения теории, авторы стремятся отразить главные ее черты.
В книге, рассчитанной на старшеклассников, рассказывается о тех физичесиких явлениях, которые наблюдаются вблизи абсолютного нуля. Из нее читатель узнает, какова температура Вселенной и каким образом она была измерена; как удается в лабораторных условияхполучать очень низкие температуры; что такое квантовая жидкость и квантовый кристалл; что такое “левитирующие электроны”; и, наконец, что такое сверхпроводимость. Попутно читатель узнает о двух основополагающих принципах квантовой механики - соотношении неопределенностей и принципе Паули, законе Больцмана, управляющем тепловым движением, и к каким следствиям они приводят не только при низких температурах, но и в условиях обыденного окружающего нас мира.
Для школьников старших классов, преподавателей и студентов.
В увлекательной форме рассказано о физических, химических и биологических свойствах самой главной молекулы живой природы — молекулы ДНК. Особенно большое внимание уделено открытиям последних десяти лет, приведших к возникновению прикладной ветви науки о ДНК — генной инженерии. В книге показано, как идеи и методы точных наук преобразили биологию XX века. Теперь это приводит к рождению новой отрасли техники — биотехнологии ХХI века.
Для школьников, преподавателей, студентов.
В книге математика, кандидата технических наук и мастера по шахматам Е.Я.Гика рассказывается о различных связях между шахматами и математикой. Рассматриваются многие типы математических задач и головоломок на шахматной доске: о силе фигур, об их маршрутах, расстановках и перестановках, о разрезании и покрытии доски. Описываются математические игры на шахматной доске, устанавливаются рекорды, сообщается о шахматных успехах ЭВМ. Дается математическое освещение таких шахматных аспектов, как составление турнирных расписаний, вычисление рейтингов шахматистов, геометрические свойства доски.
