Второй специальный курс математического анализа содержит основы теории обобщенных функций и ее применения к общей теории уравнений с частными производными. Под названием «Анализ-4» этот курс несколько раз был прочитан автором на механико-математическом факультете МГУ.
В первой части книги излагаются начала теории обобщенных функций. За основу принято определение Соболева — Шварца (обобщенные функции = линейные непрерывные функционалы на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций). Отбор фактов из теории обобщенных функций определяется в основном требованиями второй части.
Общая теория уравнений с частными производными, которой посвящена вторая часть, нагляднее сейчас уже большое количество серьезных разработок. Мы выбрали для изложения в курсе два ее раздела теория фундаментальных функций (и связанную с ней теорию гипотимонических Л. Хёрманда) и вопросы корректных задач в полном пространстве. Один из существенно основан на выборе уравнения поразительно вполне возможных использования сравнительно элементарного аналитического аппарата.
Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.
Первые две части книги были изданы ранее. Содержание третьей части:
Книга написана как учебник по специальному курсу математического анализа для студентов математических факультетов университетов. Вопросы теории функций действительного переменного, вариационного исчисления и интегральных уравнений освещаются в книге с единой точки зрения теории линейных пространств.
От читателя требуется владение общим курсом математического анализа в объеме университетской программы.
Учебное пособие предназначается студентам и преподавателям 1-го и 2-го курсов математических факультетов университетов. В основе лежит курс лекций, читаемый автором в Новосибирском государственном университете.
Пособие содержит все определения, формулировки и доказательства теорем, поясняющие примеры и упражнения. У читателя предполагается наличие некоторого опыта изучения теории функций одной переменной.
Учебное пособие предназначено студентам 1@-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.
Во втором томе «Теории чисел» Лежандр предлагает формулу для приблизительного определения числа простых чисел, меньших данного числа. Свою формулу Лежандр проверяет таблицей простых чисел от 10 000 до 1 000 000 и потом предлагает ее к решению некоторых вопросов теории чисел.
Несмотря на видимое согласие формулы Лежандра с таблицей простых чисел, мы не можем не изъявить сомнения насчет строгости ее и вследствие того не можем признать верными выводы, на ней основанные.
К такому заключению приводит нас одна теорема относительно свойств функции, определяющей число простых чисел, меньших данного числа, теорема, из которой могут быть выведены многие любопытные предложения. Мы займемся теперь изложением этой теоремы, а потом покажем некоторые из ее предложений.
При обработке второй части учебника Чезаро мы изменили систему, которой придерживались в первой части, а именно Westminster, чтобы выделять наши примечания и дополнения в особые отделы в конце каждой книги, мы помещаем здесь эти примечания и дополнения непосредственно за теми местами текста, к которым они относятся, отмечая их прямыми скобками []. Кроме того, некоторые §§ оригинала, в которых слишком сжатое изложение могло бы привести к недоразумениям, изложены нами в измененной и более подробной редакции.
Наибольшему изменению в этом отношении подвергся § 714, трактующий об условиях интергируемости функций, а §§ 708 и 736 вставлены целиком для пояснения следующих за ними статей.
Важнейшею ветвью математических наук, без сомнения, можно считать ту, которая, пользуясь возможностью увеличивать и уменьшать по произволу числа, и принимая во внимание существующие между ними зависимости, устанавливает систему аналитических приемов, применяемых, как в геометрических исследованиях, так и при изучении явлений природы. Эта ветвь носит название Анализа бесконечно-малых.
В настоящей книге (предназначавшейся первоначально исключительно для моих учеников) она и излагается элементарным способом на твердой основе Алгебраического Анализа, начала которого я спешу сообщить, опираясь на параллельно читаемый курс Аналитической Геометрии.
Третье издание отличается от первого лишь немногочисленными изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул «принцип индукции» из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опиравшиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.
Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тейлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.
