За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века гением А. М. Ляпунова эта теория нашла широкое применение в различных областях физики и техники. Ее широкому внедрению в практику способствовали многочисленные исследования главным образом советских ученых.
Появилась настоятельная необходимость дать систематическое изложение теории, применяемых в ней методов, показать их приложение к решению конкретных практических задач. Этой цели и служит настоящая книга, как и ранее вышедшая книга Н. Г. Четаева «Устойчивость движения» (1946 г.).
Однако настоящая книга значительно превышает по объему книгу Н. Г. Четаева, что позволило автору остановиться не только на основных узловых вопросах теории, но и на некоторых подробностях отдельных вопросов. Для читателя-прикладника, на которого книга, в основном, и рассчитана, эти подробности, касающиеся часто методов вычислений, могут оказаться очень важными.
Вместе с тем автор сознает, что увеличение объема книги затрудняет изучение в особенности для читателей, желающих впервые будет знакомиться с теорией устойчивости и не обладает большой математической подготовкой. Чтобы облегчить усвоение книги такими читателями, автор придерживается концентрического метода изложения.
В этой книге помещены знаменитая докторская диссертация гениального русского ученого Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованная в издании Харьковского математического общества в 1892 г., и три статьи А. М. Ляпунова, в известной мере дополняющие диссертацию. Диссертация и статьи написаны Ляпуновым больше, чем пятьдесят лет тому назад. Однако только в последние двадцать лет выявилась та огромная роль, которую имеют исследования Ляпунова для современной техники.
Текст диссертации А. М. Ляпунова воспроизводится без изменений; внесены лишь те исправления, которые были указаны самим А. М. Ляпуновым в статье «К вопросу об устойчивости движения». Кроме того, названия параграфов, данные А. М. Ляпуновым только в оглавлении, вставлены также в текст книги. Аналогичным образом без изменения воспроизводится и текст статей.
В конце книги помещены небольшие примечания к тексту А. М. Ляпунова, сделанные членом-корреспондентом Академии наук СССР Н. Г. Четаевым. Ссылки на эти примечания даны в тексте в квадратных скобках.
Книга представляет собой изложение основ теории устойчивости по Ляпунову и его прямого метода, доступное инженерам. Весь необходимый для чтения книги математический аппарат, выходящий за пределы программы технического вуза, приводится в первой ее главе.
Излагая прямой метод Ляпунова, авторы широко используют геометрические интерпретации и приводят примеры приложения полученных результатов к теории автоматического регулирования. Книга содержит и весьма интересный новый материал по распространению метода Ляпунова.
Книга предназначена для математиков и инженеров, занимающихся вопросами устойчивости и автоматического регулирования. Она может быть использована студентами в качестве учебного пособия при изучении теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории автоматического регулирования.
Проблемы интегрирования линейных дифференциальных уравнений занимали математиков еще в XVIII веке. Затем в XIX веке построение Коши теории функций комплексного переменного дало возможность обосновать всю теорию линейных дифференциальных уравнений на твердом аналитическом фундаменте и построить ту обширную теорию, которая сейчас называется аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений. Задачей этой теории является исследование функций комплексного переменного, определяемых линейными дифференциальными уравнениями с аналитическими коэффициентами.
Здесь надо упомянуть прежде всего блестящие по результатам и глубокой по идеям работы Римана по ряду функций, непосредственно связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Необходимо добавить к этому, что значительную роль Гаусс в некоторых своих письмах высказал идеи, которые потом были развиты в аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Начало современной теории аналитических функций, которая была построена Вейерштрассом в 60-х годах XIX столетия, внесло много нового в задачу, которая формулирует основную задачу теории.
При настоящем положении анализа интеграция линейных дифференциальных уравнений сводится чаще всего не на том, чтобы найти общую формулу для решения указанного уравнения в том, чтобы получить из этого уравнения ряд аналитических результатов о поведении интегралов для всех точек плоскости, где ставление одной независимой переменной.
Предлагаемая вниманию читателя книга выдающегося русского математика И. А. Лаппо-Данилевского содержит все его основные работы по теории функций от матриц и ее приложениям к исследованию линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В основу книги положено полное собрание сочинений И. А. Лаппо-Данилевского, опубликованное в 1934–36 гг. в “Трудах физико-математического института имени В. А. Стеклова” на французском языке и подготовленное к печати академиками Н. Е. Кочиным и В. И. Смирновым.
В настоящем издании из полного собрания сочинений исключено два мемуара, “Аналитическое продолжение ряда композиций” и “Разложение по степеням параметра”, которые не являются необходимыми при чтении основных работ И. А. Лаппо-Данилевского.
В конце книги помещена речь И. А. Лаппо-Данилевского, произнесенная им при защите диссертации.
Перевод с французского выполнен И. П. Мысовским. Общая редакция осуществлялась акад. В. И. Смирновым. Им же написана вступительная статья.
Этот курс дифференциальных уравнений представляет собой один из томов моего курса математики. Он подготовлен к печати в течение летних месяцев этого года, и появился в итоге моего довольно продолжительного изучения теории интегрирования дифференциальных уравнений, попыток ее дальнейшей разработки и стремления применить и известные, и полученные мною результаты к решению некоторых задач из области чистой и прикладной математики, а также из области инженерно-технических наук.
Только некоторые первые параграфы из первых глав этой книги представляют собой обработанный для печати материал из моих лекций студентам различных технических институтов, так как я меньше всего занимался преподаванием как раз именно теории дифференциальных уравнений; некоторые главы из середины книги отчасти являются переработкой того, что излагалось мною на лекциях аспирантам Научно-исследовательской кафедры математики в Киеве в 1928–1930 годах и аспирантам при Артиллерийской Академии РККА в Ленинграде в 1933 г.
Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано многочисленными примерами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пейнлеве и их высших аналогов.
Книга Крускала посвящена вопросу о сохранении адиабатических инвариантов во всех порядках асимптотического разложения. Рассматривается случай, когда адиабатический инвариант связан с системой уравнений Гамильтона, все решения которых приблизительно периодичны.
Такие уравнения возникают при изучении движения заряженных частиц в магнитном поле, что имеет большое значение для теории магнитных ловушек и космической физики. Доказанные Крускалом теоремы позволяют устанавливать адиабатическую инвариантность во всех порядках, не проводя при этом никаких вычислений в высших порядках.
Книга Крускала полезна для физиков и математиков, занимающихся вопросами, связанными с дифференциальными уравнениями с быстро колеблющимися решениями.
В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи теории устойчивости решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из основных методов решения таких задач является метод функции Ляпунова.
Этот метод, данный А. М. Ляпуновым в его работе «Общая задача об устойчивости движения», получил в последнее время широкое развитие в приложении ко многим новым задачам устойчивости. Достаточно полно были решены задачи обоснования метода, выяснены вопросы существования функций Ляпунова, в ряде работ была доказана возможность приложения метода для исследования систем, описываемых аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение этих вопросов и составляет содержание данной работы.
В книге решаются главным образом общие теоретические вопросы о возможности метода Ляпунова и некоторых других приемов приложения метода к исследованию конкретных задач устойчивости. В первой части (главы I—V) рассматриваются задачи устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе I приводится общий обзор метода Ляпунова и обсуждаются приложенные к этим теориям вопросы, в т. ч. задачи построения функций Ляпунова. В главах II—III рассматриваются возможные модификации метода.
Книга посвящена систематическому изложению различных методов теории возмущений, ставших в последнее время основными аналитическими методами решения физических и технических задач. В книге отражены и систематизированы основные идеи и результаты, полученные в этой области советскими и зарубежными учеными.
Автору удалось дать общий подход к решению многих прикладных задач. Наряду с широко известными методами сворачивания асимптотических разложений излагается весьма перспективный метод разномасштабных разложений. Представляет интерес большое количество примеров построения решений для различных систем уравнений.
Книгу можно рекомендовать механикам, физикам, инженерам-исследователям и математикам, интересующимся применением методов теории возмущений для решения прикладных задач. Она также может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов университетов и технических вузов.
