Целью этого тома является изложение современных алгебраических методов, полезных при исследованиях в области бирациональной геометрии алгебраических многообразий. Подобное изложение уже опубликовано Вейлем в его книге 9. Когда будут опубликованы лекции Зарисского, прочитанные в Коллоквиуме Американского математического общества в 1947 г., станет доступным еще одно полное изложение этой области геометрии.
Оправданием появления третьей работы, посвященной тому же предмету, служит то, что этот том предназначен для другой категории читателей. Он предназначен для читателя, хорошо знакомого с классическими методами алгебраической геометрии, желающего овладеть новыми мощными методами, которые дает современная алгебра, и в то же время выяснить, что представляют собой эти методы с точки зрения привычных ему понятий. Таким образом, данное издание в первую очередь посвящено методам, а не получению оригинальных результатов и не изложению единой теории многообразий.
В этом томе излагаются основные методы теории алгебраических многообразий в n-мерном пространстве. В нем даются также приложения этих методов к некоторым из наиболее важных многообразий, используемых в проективной геометрии.
Первоначально мы предполагали изложить также арифметическую теорию многообразий и основы бирациональной геометрии, но оказалось более удобным оставить эти разделы для третьего тома. Поэтому теория алгебраических многообразий, развитая в этом томе, является в основном теорией многообразий в проективном пространстве.
Геометрия алгебраических многообразий высших размерностей является естественным развитием теории алгебраических кривых и поверхностей. Ее можно рассматривать также как геометрическую теорию систем алгебраических уравнений или как геометрический аспект теории алгебраических функций. Ввиду такой многогранности предмета изучения, алгебраическая геометрия чрезвычайно богата связями с самыми различными отраслями математики, причем связи эти возникают как в постановках вопросов, так и в используемых методах.
История алгебраической геометрии своеобразна в том отношении, что в ней накопление фактического материала намного опережало «наведение порядка» в смысле достижений надлежащей строгости. Разрыв здесь настолько значителен, что до сих пор не исчезли сомнения в правильности многих утверждений и не прекратились дебаты о том, достаточно ли или нет имеющихся доказательств. Все это, конечно, крайне затрудняет изучение алгебраической геометрии по имеющейся литературе.
Настоящая книга предназначена в качестве учебника по аналитической геометрии для студентов механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Наличие в книге задач с решениями и задач для самостоятельного решения (с ответами) позволяет использовать заочниками эту часть книги как материал семинарских занятий.
Помимо традиционного материала по аналитической геометрии в книге дано понятие о линейном пространстве и линейном многообразии. Линейное отображение определяется как коллинеация, при которой сохраняется простое отношение и положение собственных векторов. Дана метрическая теория инвариантов в аффинной системе. Рассмотрены кривые и плоские сечения поверхностей второго порядка. Проективные координаты и теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона даны в дополнении. В основном тексте — только однородные координаты.
Работы выдающегося французского математика Ж.-П. Серра хорошо знакомы советскому читателю по русскому переводу его книг: «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968), «Алгебры Ли и группы Ли» («Мир», 1969), «Линейные представления конечных групп» («Мир», 1970), «Курс арифметики» («Мир», 1972).
Его новая книга, посвященная арифметике алгебраических (в особенности абелевых) многообразий в тех её аспектах, которые связаны с дзета-функциями, автоморфными функциями и теорией Галуа, написана с присущим этому автору мастерством. Она, несомненно, представляет интерес для математиков, и в первую очередь для специалистов по теории чисел, алгебре и топологии.
Цель этого пособия состоит в том, чтобы помочь студентам первого курса математического и физического факультетов при изучении раздела “Векторная алгебра” курсов “Аналитическая геометрия”, “Геометрия”, “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”.
Вместе с предельно кратким изложением теоретического материала пособие содержит приемы решения типовых задач, знание которых является необходимым условием понимания курса. В стандартных учебниках этим приемам не уделяется должного внимания. Часть задач снабжена решениями, часть — ответами.
Учебник написан в соответствии с обязательным минимумом стандарта биологического образования и требований к уровню подготовки учащихся основной (базовой) школы. Он содержит все необходимые сведения о строении и жизнедеятельности организма человека, способствующие обеспечению здорового образа жизни. Большое внимание в нем уделено вопросам высшей нервной деятельности человека, гигиены и доврачебной помощи.
Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функторов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего прогресса.
Будучи фундаментом “численных методов” в алгебраической геометрии и теории схем, K-теория доставляет необходимый аппарат для исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраических циклах или проблем бирациональной геометрии.
Эта теория представлена в предлагаемых записях лекций второго года. Читатель, для которого лекции 2 окажутся недоступными, сможет понять эти записи, ознакомившись с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности 3, 4).
В 1986-1988 гг. автор прочел на механико-математическом факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической геометрии. Материал первого года был размножен на ротапринте 2, материал второго года был опубликован в “Успехах математических наук” 5. Оба эти издания сохранили отпечаток лекционного курса, с его преимуществами и недостатками.
Предлагаемая книга отличается небольшим и стольным силу трудовой главой задуманного учебника по алгебраической геометрии. Она уже включает для обозрения материал многих лекций 2, значительно расширенных и переработанных.
Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но очень ощупчивый очерк основных понятий теории схем и техники когомологий когерентных пучков на них. Далее, эта техника применяется к теории кривых и поверхностей, для которых строятся схемы Пикара и доказывается ряд фундаментальных алгебро-геометрических фактов.
Книга трудна, но написана очень живо и на редкость содержательно. В немногочисленной монографической литературе по современной алгебраической геометрии она занимает особое место: по ней можно изучать содержательные результаты, хотя предварительные требования к читателю достаточно высоки.
