(В) x²y’ − (bx + a)y = x⁻ᵃP(x). При этом P, a, b, α имеют тот же смысл и удовлетворяют тем же условиям, что и в (B). Подстановка y(x) = η(ξ), ξ = 1/x переводит это уравнение в уравнение (B) с переменными ξ, η вместо x, y.
Делая обратную замену в полученном для того случая асимптотическом разложении, получим асимптотическое разложение для данного случая, пригодное при малых значениях |x|.
Настоящее пособие предназначено для студентов различных специальностей РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. В нем подробно рассматриваются способы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разобраны реальные практические задачи, сводящиеся к решению таких уравнений.
В начале каждого раздела сформулированы теоретические вопросы, которые позволяют систематизировать знания по соответствующему разделу учебного курса. Приведены задачи для самостоятельного аудиторного и домашнего решения.
В приложениях представлены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, несколько расширяющие рамки стандартного курса технического вуза, а также современные компьютерные подходы к решению дифференциальных уравнений (на примере системы «Mathematica»).
Пособие будет также полезно магистрантам, аспирантам и специалистам в качестве справочного материала при решении практических задач.
В монографии рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и вообще анализ и классификация решений дифференциальных уравнений. Здесь читатель найдет и новые методы исследования, и новые задачи, не встречающиеся в литературе.
В третьем издании расширена и использована при исследовании качественных вопросов глава «Теория подвижных особых точек в вещественной области», новации по методам и результатам и имеющая как теоретическое, так и прикладное значение. Шире рассматриваются в новом издании и вопросы качественной теории и методы обнаружения и построения периодических решений в области центральных и изолированных периодических решений. Добавлена и новая XIV глава «Фрагменты из элементарной конструктивной теории периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений».
Книга рассчитана на математиков, физиков и инженер-теоретиков. Она будет полезна и студентам старших курсов механико-математических и физических факультетов.
В монографии рассмотрены методы нахождения полиномиальных и целых трансцендентных решений алгебраических дифференциальных уравнений.
Книга рассчитана на научных работников и аспирантов, занимающихся общей и аналитической теориями дифференциальных уравнений. Также может быть использована при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям и их приложениям.
Выпускаемая в русском переводе книга Айнса (E. L. Ince) представляет ценный вклад в нашу математическую литературу. Книга состоит из 21 главы и разделена на две части.
Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).
Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).
Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Теория почти-периодических (п.п.) функций была создана в основном и опубликована в 1924-1926 гг. датским математиком Гаральдом Бором. Работам Бора предшествовали важные исследования П. Боиля и Е. Эсклангона. В дальнейшем (на протяжении 20-30-х годов) теория Бора получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. Вейля, А. Безиковича, Ж. Фавара, Дж. Неймана, В. В. Степанова, Н. Н. Боголюбова и др.
В частности, теория п.п. функций дала сильный толчок развитию гармонического анализа функций на группах (п.п. функции, ряды и интегралы Фурье на группах). В 1933 г. вышла важная работа С. Бохнера, посвященная перенесению теории п.п. функций на векторно-значные (абстрактные) функции со значениями в банаховом пространстве.
Из самого происхождения этого уравнения очевидно, что всякая функция, определяемая соотношением (1), удовлетворяет уравнению (3), каковы бы ни были значения, даваемые постоянным c. Соотношение (1) называется частным интегралом дифференциального уравнения (3). Совокупность этих частных интегралов называется общим интегралом того же уравнения.
В монографии рассматриваются проблемы, связанные исследования математических моделей динамических процессов во фрактальных и пористых средах. Монография посвящена основным понятиям интегралов и производных дробного порядка, численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка и дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка, исследованию процессов теплопереносса во фрактальных и пористых средах и методам разработки алгоритмов для обработки цифровых изображений на основе обобщенных операторов дробного дифференцирования. Изложенные в монографии численные методы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с производными дробного порядка и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка могут служить основой построения эффективных численных алгоритмов для численного исследования нелокальных процессов во фрактальных средах. Алгоритмы обработки цифровых изображений можно использовать для обработки цифровых изображений, а эмпирические уравнения для теплопроводности – для расчета теплопроводности горных пород в зависимости от температуры и давления.
Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов, интересующихся дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка и их приложениями.
«Справочник по обычным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890—1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.
Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют более точно решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими.
В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее, возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас.
