Настоящая книга представляет собой третью часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
Она содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Как и первые две части «Избранных задач и теорем элементарной математики», настоящая третья часть состоит из условий задач, ответов и указаний и, наконец, решений. Как решения, так и ответы и указания даны ко всем задачам книги. Кроме того, там, где это необходимо, условия задач снабжены пояснениями.
Эта книга рассчитана на школьников старших классов — участников математических кружков, на руководителей школьных математических кружков, а также на руководителей и участников кружков по элементарной математике в педагогических институтах.
Значительную часть книги составляют «циклы» задач, связанных общей темой, причем задачи цикла вместе и в решении дают очень полное и законченное освещение данной геометрической задачи. Каждый такой цикл может служить темой одного-двух занятий математического кружка.
Эта книга представляет собой вторую часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете. Она содержит задачи по планиметрии и совершенно не зависит от первой части книги, посвященной арифметике и алгебре.
Принципы, которыми руководствовались авторы при подборе задач, были подробно указаны в предисловии к первой части книги. Много внимания уделялось задачам «нестандартным», требующим для своего решения привлечения соображений, непривычных для школьников, но широко используемых в математике сегодняшнего дня.
В настоящей второй части такие «нестандартные» задачи составляют основное содержание первых двух циклов задач, в своем характеру близких друг к другу.
Эта небольшая книга известного венгерского математика посвящена разнообразным задачам о плотнейшем расположении фигур или тел, а также некоторым смежным вопросам, связанным с этими задачами.
Книга содержит богатый материал, интересный и полезный для студентов университетов и пединститутов; часть этого материала может быть использована преподавателями средней школы в работе математических кружков.
Книга содержит задачи, разнообразные по степени трудности, по всем основным разделам курса геометрии средней школы. Ко всем задачам даны решения или указания к решению.
Книга может быть использована учащимися IX — X классов, желающими углубить и расширить свои математические знания.
Книга имеет форму задачника с указаниями и подробными решениями. Все сведения, необходимые для понимания задач, изложены в тексте книги. Многие из собранных здесь задач предлагались участникам московских школьных математических кружков и олимпиад. Некоторые из задач заимствованы из серьезных научных работ, относящихся к новому разделу математики — комбинаторной геометрии.
Книга рассчитана на интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы и студентов-математиков младших курсов.
Книга представляет собой сборник задач с указаниями и подробными решениями. Все задачи посвящены оценкам геометрических величин, чаще всего связанных с треугольником и тетраэдром. Ряд задач заимствован из недавних научных работ; однако, в книге нет ни одной задачи, решение которой требовало бы знаний, выходящих за рамки школьной программы. Многие из задач предлагались на московских математических олимпиадах или разбирались на занятиях школьного математического кружка при МГУ.
Книга рассчитана в первую очередь на школьников старших классов; она может быть использована преподавателями математики для кружковых и факультативных занятий, а также студентами педагогических институтов.
Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвариантных относительно движений плоскости. Фигуры, которые можно совместить движениями, геометрия считает равными и не различает. Всем известны движения евклидовой планиметрии: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия. Если изменить группу движений, например, добавить преобразования подобия, то изменится и геометрия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает свою геометрию.
В брошюре рассказывается о геометрии, которую порождают преобразования инерциальных систем отсчёта, знакомые из школьного курса физики. Такую геометрию принято называть геометрией Галилея. В чём-то эта странная геометрия отличается от евклидовой, а в чём-то похожа на неё.
Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 марта 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.
Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая — в пятый. Девочки делились своими впечатлениями об уроках, учителях, подругах, о новых предметах.
Шестиклассницу очень удивили уроки геометрии: «Вот чудеса, — говорила она, — пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они — равные.
Никак не пойму: зачем это нужно?». — «А как же ты урок будешь отвечать?» — спросила младшая девочка. «Выучу по учебнику… вот только очень трудно запомнить, где какую букву нужно ставить…».
Цель книги состоит в том, чтобы ознакомить читателя с основными положениями неевклидовой геометрии Лобачевского. Автор дает в книге краткий очерк жизни и деятельности Н. И. Лобачевского и останавливается на вопросе о происхождении аксиом и их роли в геометрии.
Для понимания книги необходимо знание элементарной геометрии (в ее планиметрической части) и тригонометрии в объеме курса средней школы. Кроме того, автор пользуется инверсией — специальным геометрическим преобразованием, основные свойства которого выясняются в одном из первых параграфов книги.
Автор является крупным специалистом по геометрии Лобачевского, и его книга представляет интерес не только для школьников — любителей математики, но и для студентов младших курсов педагогических институтов и университетов.
Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшейся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным её методом.
Координатами точки называются числа, определяющие положение точки на данной линии или на данной поверхности или же в пространстве. Так, положение точки на земной поверхности будет определено, если известны её географические координаты — широта и долгота.
Для нахождения координат точки необходимо задание ориентиров, от которых ведется отсчёт. В случае географических координат такими ориентирами будут экватор и нулевой меридиан.
