Первая часть “Основ вариационных исчислений”, посвященная функциям конечного числа переменных и их экстремумам, вышла отдельной книжкой. Настоящая книга, II–IV части, содержит несколько расширенный университетский курс. Мы начинаем ее с “Основных понятий и методов вариационного исчисления”. На этой части (II) мы сознательно остановились более подробно, так как, с одной стороны, эти понятия имеют фундаментальное значение в анализе вообще; с другой стороны, овладение основными понятиями и методами математической дисциплины не менее важно, чем овладение ее рецептурой.
Начало II части естественно примыкает к I части: вариационные задачи здесь рассматриваются как предельные задачи на экстремум функций конечного числа переменных. Сначала решаются отдельные частные вариационные задачи, затем делается переход к решению общих задач. Подобные элементарные методы (конечно в другом изложении — интегральном или инфинитезимальном) были характерны для первого развития вариационного исчисления. Но и после создания более общих формализованных методов элементарные приемы могут иметь преимущество при решении отдельных задач.
Задачи вариационного исчисления являются развитием задач о нахождении экстремума функций конечного числа переменных. Поэтому свою книгу по вариационному исчислению мы предполагали начать с вводной главы, посвященной функциям конечного числа переменных и их экстремумам. Но поскольку она разрослась, мы выпускаем ее в виде отдельной книжки, вводной части “Основ вариационного исчисления”, рассматривая ее как дополнительное пособие при прохождении курса анализа на младших курсах университетов и педвузов.
Мы начинаем с элементов n-мерной геометрии (глава I). Геометрические методы являются настолько основными в анализе, что навыки к ним нужно воспитывать с самого начала прохождения курса анализа. n-мерная линейная и евклидова геометрия являются первыми звеньями цепи геометрических обобщений, вызванных в значительной части потребностями анализа, обобщений, которых нам придется коснуться в следующих частях книги.
Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики — вариационному исчислению.
По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения».
В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры.
Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для самостоятельного решения.
Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению.
В основу данного курса положены лекции, читавшиеся И. М. Гельфандом на механико-математическом факультете МГУ. Однако содержание книги значительно выходит за рамки материала, фактически излагавшегося на лекциях. Авторы ставили своей целью изложить основы вариационного исчисления в доступной и в то же время достаточно современной форме. Значительное внимание в книге уделено физическим применениям вариационных методов — каноническим уравнениям, вариационным принципам механики, законам сохранения и т. д.
Читатель, желающий ознакомиться лишь с самыми основными понятиями и методами вариационного исчисления, может ограничиться изучением одной первой главы. Совокупность первых трех глав образует несколько более обширный, но все еще достаточно элементарный курс основ вариационного исчисления (в рамках одних лишь необходимых условий экстремума). Наконец, главы I — VI составляют более или менее обычный по объему университетский курс вариационного исчисления (с некоторыми примечаниями в механике систем с конечным числом степеней свободы), включаящеи круг вопросов мало сколько отличны от общих изложений и достаточно условие слабого и сильного экстремума.
Конечные главы книги посвящены применениям вариационного исчисления к полям в неограниченной степени свободы. В восьмой главе кратко изложены применение теории вариационного исчисления.
Авторы благодарны М. А. Егварову и А. Г. Костюченко, которые прочли книгу в рукописи и сделали ряд полезных замечаний.
Предлагаемая вниманию читателей книга Блисса «Лекции по вариационному исчислению» заполняет существенный пробел в математической литературе, посвящённой вариационным задачам. В ней с исчерпывающей полнотой изложены результаты так называемого «классического» направления в вариационном исчислении, развивающего и обобщающего методы, восходящие ещё к Якоби и Вейерштрассу.
В первой, более элементарной части книги дано весьма полное и строгое изложение задачи об исследовании на безусловный минимум функционала, зависящего от одной или нескольких неизвестных функций одной независимой переменной. Вторая, наиболее интересная часть книги посвящена задачам на условный экстремум функционалов того же типа. В ней с исключительной чёткостью изложена теория наиболее общих задач на условный экстремум, причём многие результаты впервые излагаются в учебной литературе.
Книга Блисса, безусловно, представляет значительный интерес и учащимся вузов, и аспирантам, и студентам физико-математических факультетов. Однако наряду с этим она имеет один существенный недостаток — она может создать совершенно ложное представление о роли русских и советских ученых в развитии вариационного исчисления. На протяжении всей книги отсутствуют даже упоминания о трудах петербургского кружка Эйлера, ни разу не упоминаются работы русских и советских ученых.
Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наименьшей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости? Для математической формулировки фиксируем две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) на плоскости xy, считая x1 < x2, и рассмотрим гладкую кривую.
Эти лекции я читал несколько раз на механико-математическом отделении физико-математического факультета Харьковского государственного университета. В соответствии с существующими программами и общими задачами университетского преподавания я стремился не столько к подробной трактовке всех задач вариационного исчисления, сколько к ознакомлению студентов с проблематикой и главными методами вариационного исчисления — классическими и прямыми.
Поэтому в основном тексте полному разбору подвергнуты лишь главнейшие проблемы. Частично этот пробел восполняет раздел “Различные дополнения и упражнения” (коротко: Дополнения). Для большей компактности туда же отнесены и классические примеры вариационного исчисления. Рядом с номерами параграфов Дополнений указаны в скобках те параграфы основного текста, с которыми он в первую очередь связан.
Существующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, не содержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям. Между тем эти разделы высшей математики широко используются в исследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин, изучаемых в ряде высших технических учебных заведений. Данное справочное руководство имеет своей целью восполнить указанный пробел.
Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и математической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимума Л. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельные положения теории иллюстрируются примерами и решениями задач.
Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов, аспирантов высших технических учебных заведений.
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
▫Настоящая книга - классический учебник по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению для студентов физических и физико - математических факультетов университетов. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете МГУ. Цель данного учебника - способствовать глубокому усвоению теории с помощью подробно решенных примеров и задач разного уровня сложности: от простых до самых сложных и нетривиальных։.
Книга состоит из двух независимых частей. В первой части подробно изложены методы интегрирования дифференциальных уравнений и простейшие способы исследования их решений; вторая часть знакомит читателя с методами решения различных вариационных задач. Каждая глава снабжена задачами для самостоятельного решения. Книга будет полезна и интересна и тем, кто только начинает знакомство с предметом, и тем, кто стремится углубить свои знания в этой области.
