Наше время — эпоха коренных изменений основ многих наук, в том числе геологии и географии. Упорным трудом ученых, вооруженных современными знаниями и новой техникой, создаются новые геология и география.
На наших глазах в связи с потребностями человеческого общества, бурным ростом техники, меняются и сами задачи геолого-географических наук. Если раньше они изучали и устанавливали закономерности хода природных явлений преимущественно в отдельных районах земного шара, то в настоящее время они стремятся охватить весь земной шар, приобретая, как принято говорить, «глобальный характер». Решение задач, стоящих даже перед отдельными отраслями наук, невозможно теперь без привлечения смежных областей науки, оно становится комплексным. Поэтому неизбежно встает вопрос о кооперации, как, например МГГ (Международный Геофизический год), приобретающей международный характер.
Родились и растут совершенно новые проблемы и новые ветви наук, открывающие перед нами новые обширные горизонты и невиданные возможности использования еще мало освоенных ресурсов и сил природы.
Если еще недавно геология изучала только сушу, то в последние десятилетия опа приступила к исследованию дна океанов. Ведь хорошо известно, что большая часть земной коры — 71% —покрыта водами океана. Для того чтобы полностью проникнуть в историю Земли, понять закономерности строения земной коры, надо прочесть то, что «записано» на породах, скрытых в морском дне.
Современные массовые гидрохимические анализы сопряжены с большой работой по пересчету весовых или объемных (для газов) единиц выражения результатов анализа в эквивалентную или грамм-атомную форму выражения. В ряде случаев возникает потребность и в обратных пересчетах — из атомной в весовую форму.
В этой книге известный метод Винера — Хопфа, разработанный для решения определенного класса интегральных уравнений, применяется к решению краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Рассматриваются примеры из теории электромагнитных волн, акустики, гидродинамики, теории упругости и теории потенциала. В конце каждой главы приводится большое число упражнений и дополнительных результатов. На русском языке это первая монография по данному вопросу.
Книга предназначена для студентов старших курсов, инженеров и научных работников, имеющих дело с уравнениями математической физики. Она может быть использована в качестве практического руководства по применению метода Винера — Хопфа к конкретным задачам.
До настоящего времени продолжают оставаться актуальными проблемы существования и устойчивости для различных классов краевых задач теории уравнений математической физики. Особенно большие успехи достигнуты за последние десятилетия в линейных проблемах, где метод интегральных уравнений со знаменистой альтернативой Фредгольма дал возможность до конца изучить все основные линейные задачи для уравнений эллиптического типа; этот же метод дал возможность сильно продвинуть известную проблему Трикоми для уравнений смешанного типа.
Начиная с известных исследований А. Вилля, Т. Леви-Чивиты и А. И. Некрасова, мы имеем большой цикл работ по классическим нелинейным проблемам механики сплошных сред — задача о струйном обтекании произвольного контура и задача о волновых движениях тяжелой жидкости.
Наибольшее число работ в этом направлении известно также на интегральные уравнения (нелинейные) с применением метода разложений по малому параметру (А. И. Некрасов, Н. Е. Кочин и др.) или с применением методов функционального анализа, в частности знаменистую теорему о неподвижной точке (Ж. Лере, А. Вейнштейн, Ю. Кравченко и др.).
Лекции по механике Г. Кирхгофа (1824—1887) являются одним из классических произведений, посвященных теоретической механике. Несмотря на то, что эта книга была впервые издана почти 90 лет назад, своеобразный подход автора к проблеме основ механики и широкий охват материала делают ее интересной и полезной и в настоящее время.
Поэтому при переводе представлялось существенным важным по возможности сохранить стиль и характер книги, что заставило сохранить некоторые из тех терминов и выражений, которые устарели или не привились в науке.
Так как книга вследствие своей трудности и сжатости изложения доступна лишь для читателей, уже достаточно сведущих в механике, и отнюдь не может служить для первоначального изучения механики, то пояснительные примечания даны только в тех случаях, когда это оказалось существенно необходимым. В тех случаях, где переводчик указывал современное состояние проблемы, разбираемой в лекциях, это значительно увеличивало бы размер книги и могло бы изменить ее характер.
В конце книги приведен краткий биографический очерк Г. Кирхгофа, примечания и библиография его научных трудов.
Книга посвящена теории дифференциальных уравнений — той отрасли математики, которая находит чрезвычайно широкие и многообразные применения в физике и технике. Ее автор, крупнейший итальянский математик Ф. Дж. Трикоми, хорошо известен советскому читателю по переводам трех его монографий: «Уравнения смешанного типа», «Лекции по уравнениям в частных производных» и «Интегральные уравнения».
Книга, предлагаемая вниманию читателя, написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом. Тщательный отбор материала и продуманность изложения позволяют при сравнительно небольшом объеме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты современной теории дифференциальных уравнений, которые обычно опускаются в общих курсах.
Книга написана весьма просто. Она может служить пособием для студентов и аспирантов математиков и физиков, а также для инженеров. Немало интересного найдут в ней и специалисты-математики.
Книга Крускала посвящена вопросу о сохранении адиабатических инвариантов во всех порядках асимптотического разложения. Рассматривается случай, когда адиабатический инвариант связан с системой уравнений Гамильтона, все решения которых приблизительно периодичны.
Такие уравнения возникают при изучении движения заряженных частиц в магнитном поле, что имеет большое значение для теории магнитных ловушек и космической физики. Доказанные Крускалом теоремы позволяют устанавливать адиабатическую инвариантность во всех порядках, не проводя при этом никаких вычислений в высших порядках.
Книга Крускала полезна для физиков и математиков, занимающихся вопросами, связанными с дифференциальными уравнениями с быстро колеблющимися решениями.
Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).
Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).
Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из целых положительных (натуральных) чисел, например, √2, т.е. нет такой рациональной дроби p/q (где p и q — натуральные числа), квадрат которой был бы равен 2.
Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь p/q, что (p/q)² = 2. Мы вправе считать эту дробь несократимой, т.е. p и q лишёнными общих множителей. Так как p² = 2q², то p есть число чётное: p = 2r (где r — целое), и, следовательно, q — нечётное. Подставляя вместо p его выражение, мы имеем: q² = 2r², откуда следует, что q — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Настоящий выпуск задачника-практикума составлен применительно к учебнику Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, том I. Цель его — научить студента-заочника технике интегрирования и умению решать различные задачи на приложения определенных интегралов.
При составлении задачника-практикума мы прежде всего исходили из учета тех довольно больших трудностей, с которыми встречаются многие студенты-заочники при изучении курса математического анализа. Основная из этих трудностей состоит в том, что изучающий заочно высшую математику, как правило, лишен возможности систематически получать устную консультацию преподавателя. Мы больше всего старались предвидеть те “трудные места”, которые могут встретиться студенту на пути овладения методами интегрирования, очень осторожно подходили к подбору задач, к постепенному повышению их трудности.
Особенно нелегко было выбрать задачи, к которым следует дать подробные решения. В самом деле, каждая решенная задача должна содержать некоторые новые элементы, с которыми студент до сих пор еще не встречался, причем таких новых элементов должно быть в задаче не очень много. Кроме того, все решенные типичные задачи в том числе иностраны должны обесцвечивать студенту возможность самостоятельно задуматься и сотрудничать со всеми задачами, предлагаемыми для самостоятельного решения.
