Представлены основные формулы алгебры, геометрии (включая дифференциальную геометрию и векторное исчисление), тригонометрии. Широко представлены формулы и основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены таблицы основных интегралов. Для широкого круга специалистов и учащейся молодежи.
На протяжении нашего курса мы уже несколько раз встречались с вопросом об интегральных уравнениях (т. I, § 137; т. II, § 389; т. III, § 513, 533, 547). Эта новая ветвь анализа очень быстро приобрела важное значение после работ Вольтерра (Volterra) и Фредгольма (Fredholm). Вольтерра занимался преимущественно изучением уравнений с переменными пределами; он рассматривал уравнения этого типа как предельный случай системы алгебраических уравнений, в которых число неизвестных неограниченно возрастает.
Эта же идея была использована с очень большим успехом Фредгольмом в исследовании уравнений с постоянными пределами. В настоящей главе мы сначала покажем, к какому очень простому результату приводит Вольтерра метод последовательных приближений.
В случае постоянных пределов этот метод вообще не дает полного решения, но приводит к важным свойствам резольвенты. Те трудности, которые возникают при определении аналитического характера этой резольвенты, дают возможность оценить важность окончательного шага, сделанного Фредгольмом*.
Как и предыдущие книги того же автора — «Математический анализ (конечномерные линейные пространства)» (М., 1969) и «Математический анализ (функции одного переменного)» (ч. 1—2—М., 1969, ч. 3—М., 1970), — эта книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.
В гл. 1 строится теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический векторный анализ, в гл. 5 — классическая дифференциальная геометрия, которая развивается в гл. 6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими интегральными теоремами.
Второй специальный курс математического анализа содержит основы теории обобщенных функций и ее применения к общей теории уравнений с частными производными. Под названием «Анализ-4» этот курс несколько раз был прочитан автором на механико-математическом факультете МГУ.
В первой части книги излагаются начала теории обобщенных функций. За основу принято определение Соболева — Шварца (обобщенные функции = линейные непрерывные функционалы на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций). Отбор фактов из теории обобщенных функций определяется в основном требованиями второй части.
Общая теория уравнений с частными производными, которой посвящена вторая часть, нагляднее сейчас уже большое количество серьезных разработок. Мы выбрали для изложения в курсе два ее раздела теория фундаментальных функций (и связанную с ней теорию гипотимонических Л. Хёрманда) и вопросы корректных задач в полном пространстве. Один из существенно основан на выборе уравнения поразительно вполне возможных использования сравнительно элементарного аналитического аппарата.
Учебное пособие предназначается студентам и преподавателям 1-го и 2-го курсов математических факультетов университетов. В основе лежит курс лекций, читаемый автором в Новосибирском государственном университете.
Пособие содержит все определения, формулировки и доказательства теорем, поясняющие примеры и упражнения. У читателя предполагается наличие некоторого опыта изучения теории функций одной переменной.
Учебное пособие предназначено студентам 1@-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.
Третье издание отличается от первого лишь немногочисленными изменениями. Самое существенное из них состоит в том, что я вычеркнул «принцип индукции» из числа основных лемм, вследствие чего все опиравшиеся на этот принцип доказательства пришлось заменить другими. Я надеюсь, что для большинства читателей я этим облегчил усвоение книги, так как мне представляется, что этот принцип и опиравшиеся на него рассуждения предъявляли читателю в отношении логической культуры требования несколько более высокие, чем это вообще принято в настоящей книге.
Из других изменений заслуживают быть отмеченными только новая трактовка формулы Тейлора и параграфа о функциях с ограниченным изменением.
Цель настоящего пособия — помочь студенту-заочнику педагогического института овладеть приемами и методами решения задач при самостоятельном изучении курса математического анализа (разделов «Ряды» и «Дифференциальные уравнения»).
Пособие написано в соответствии с программой специальности «математика», однако им могут воспользоваться и студенты специальности «физика» (в разделе «Ряды» для них написан параграф «Ряды Фурье»).
Книга содержит больше ста решенных типовых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Прежде чем приступать к самостоятельному решению задач, необходимо по одному из учебников изучить соответствующий теоретический материал (в начале каждого параграфа настоящего пособия даются такие указания со ссылкой на главу, параграф и пункт учебника). Затем следует внимательно (с карандашом в руках) разобрать примеры решения типовых задач, после чего выписать все задачи, предназначенные для самостоятельного решения.
Краткий курс математического анализа должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом».
Он содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений, а также простейшие приложения этих учений. Необходимость в таком руководстве вызвана тем, что существующие у нас сейчас учебники математического анализа в большом количестве не всегда полностью отвечают указанному назначению. Многие из них, доступные рядовому студенту, либо устарели, либо базируются на недостаточном для специалиста-математика научном фундаменте.
В то же время те учебники, которые основаны на современном уровне, зачастую представляют собой громоздкие работы, чья структура и объем выходят за рамки доступного для обычного студента I–II курсов материала. Задача курса – восполнить этот пробел, обеспечивая компактное изложение с учетом действующих образовательных стандартов.
Известно, что в условиях втуза начальные сведения о дифференциальных уравнениях могут потребоваться студенту очень рано. К такого рода сведениям, думаю, относится содержание главы XXIV и §§ 1—7 главы XXV настоящего тома. Изложение этих мест курса основывается лишь на материале первого тома и, как показывает опыт, вполне доступно студенту второго семестра.
На первом томе основываются и §§ 8—13 главы XXV. Однако соответствующий материал труднее и его лучше отнести дальше.
Изложение кратных интегралов, интегралов по поверхности, криволинейных интегралов первого рода ведется с общих позиций функций области (как и в ранее изданном моем курсе, но изложение, думается, удалось несколько усовершенствовать).
Как и в I томе, материал, который в условиях втуза можно опустить (более или менее бесспорно), выделен мелким шрифтом.
