Эта небольшая книжка, написанная известным немецким популяризатором математики, недавно скончавшимся профессором Геттингенского университета Вальтером Литцманом, посвящена не только геометрии, как можно было бы подумать по ее названию. Автор собрал в ней довольно разнообразный материал, относящийся и к геометрии, и к алгебре, и к арифметике.
Весь этот материал группируется вокруг знаменитой ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, одной из замечательнейших теорем школьного курса математики. При этом автор, естественно, не касается серьезных научных проблем, связанных с этой теоремой; почти не затрагивает он и чисто методических вопросов, лишь слегка критикуя традиционное доказательство теоремы Пифагора, приводимое почти во всех школьных учебниках.
Однако и ограничив таким образом рамки своей книги, Литцман сумел найти достаточно занимательного материала, способного заинтересовать начинающего математика.
Еще одна книга о круге, притом об его элементарных свойствах… Не слишком ли это смело и нужно ли это вообще?
Ведь начиная с евклидовых «Начал» (300 лет до н. э.) изложение теории круга как по содержанию, так и по выбору способов доказательства теорем в бесчисленных учебниках всех времен и народов было настолько исчерпывающим, что кажется ни одного нового слова сюда добавить уже нельзя.
«МАТЕМАТИК, ТАК ЖЕ КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ, СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ» — в книге «Апология математики», изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой части, как геометрические мозаики.
Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры М. К. Эшера «Всадники», «Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга.
Это и есть то, что геометр называет мозаикой. А с точки зрения просто обычная, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство.
Книга Гарри Линдгрена продолжает серию книг по занимательной математике, начатую издательством в 1971 г. книгами М. Гарднера, и посвящена одному из увлекательнейших ее разделов — задачам на разрезание.
Автор знакомит читателя с общими принципами того, как из одной заданной фигуры составить другую, разрезав первую на минимальное число частей, и при этом оставляет широкие возможности для самостоятельных поисков решений.
Книга рассчитана на самые широкие круги читателей.
Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ (классов) физико-математического направления. В нем предоставлены задачи по курсу планиметрии VII–IX классов, относящиеся к геометрии треугольника.
В сборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при этом предпочтение отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При составлении сборника использовались журналы “Квант” и “Математика в школе” за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в списке литературы в конце сборника, часть задач составлена авторами.
При ссылках на задачи сборника принята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая — номер задачи в этом параграфе (например, 4. II — задача II § 4). Если ссылка дается на задачу этого же параграфа, то этот номер опускается. Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различные решения.
В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Больяи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расселить на конечное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй*).
Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади его можно превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д. Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.
Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове.
Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.
Когда Феликс Клейн задумал опубликовать важнейшие из своих автографированных лекций, он решил начать с неевклидовой геометрии и с помощью молодого геометра д-ра Роземаа предварительно подвергнуть старый текст основательной переработке в делом и в деталях. Эта работа оказалась много продолжительней, чем ожидалось сначала. Самому Клейну уже не довелось дожить до ее окончания.
Правда, он в ежедневных, более года продолжавшихся совещаниях со своим молодым сотрудником продумал, пересмотрел и привел в порядок материал вплоть до мельчайших подробностей; но самую разработку текста он должен был предоставить д-ру Роземану. К моменту смерти Клейна первые главы книги были уже в гранках; все же потребовался многолетний и самоотверженный труд со стороны д-ра Роземана для того, чтобы на основе первоначальной программы подготовить к печати рукопись и провести ее через печать.
Поэтому к изданию книги участие и заслуга, а также и ответственность д-ра Роземана должны оцениваться выше, чем это обычно делается по отношению к сотрудникам.
Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей “Эрлангенской программе” и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем “Введении в высшую геометрию”, является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики.
Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание “первого тома”. Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним “второй том”, который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки.
Его место заняла “третья часть” настоящей книги, в которой помещены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III — в существенном Артин и V — Шрейер (Гамбург).
Главнейшія особенности предлагаемаго руководства геометріи состоять въ слѣдующемъ.
Въ предлагаемаго руководствѣ, въ согласіи со многими авторитетами учебно-математической литературы, проведено воззрѣніе, согласно которому, что понятіе о длинѣ элементарно только въ примѣненіи къ прямымъ; но какъ тѣлько рѣчь идетъ о сравненіи кривой линіи с прямолинейной или окружностью, тогда (вслѣдствіе невозможности элемента кривой быть элементарнымъ прямымъ) понятіе о длинѣ становится сложнымъ и требуетъ опредѣленія *).
