SCI Библиотека

Главная цель данной монографии – развить ряд геометрических понятий теории точных матриц и далее разработать главные положения тензорной тригонометрии для бивалентных тензорных углов, образуемых линейными подпространствами или связанных с их вращением.

В первом разделе (главы 1–4) рассмотрен ряд вопросов теории точных матриц. Сформулировано генеральное неравенство для средних величин, в том числе установлены иерархические инварианты для спектрально положительной матрицы. Выражены в явном виде собственные проекторы и квазиобратные матрицы – через коэффициенты характеристического многочлена. Идентифицирован минимальный аннулирующий многочлен. Изучены параметры сингулярности матриц и связанные с ними неравенства. Определены нуль-простые и нуль-нормальные сингулярные матрицы.

Во втором разделе (главы 5–12) развита тензорная тригонометрия в аффинной и метрической формах. Определены бинарные угловые и модульные характеристики линейных объектов. Построена квазиевклидова и псевдоевклидова тензорная тригонометрия в трёх видах: проективная, рефлективная и моторная (последняя – ротационная или деформационная). Установлен тригонометрический спектр нуль-простой матрицы, на основе которого получены генеральные нормирующие синусное и косинусное неравенства. Определены квадратичные нормы матриц.

В Приложении тензорная тригонометрия в своих элементарных формах используется для изучения движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности. Для суммирования в них двух и многоступенчатых движений (скоростей) применено полярное представление тригонометрических ротаций. Закону суммирования движений (скоростей) придана генеральная матричная форма. Реализована гиперболическая формализация эйнштейнова замедления времени и лоренцева сокращения протяжённости как следствий ротационного и деформационного преобразований координат. Даны формулы вычисления и тригонометрическая интерпретация особой ортосферической ротации (буста). Предложены тригонометрические модели для релятивистской кинематики и динамики материальной точки в

Главная цель данной монографии состоит в том, чтобы рассмотреть основные методы оптимизации целевых функций (вплоть до математического программирования) в логичном порядке, подчёркивающем их генезис, а также заполнить имеющиеся “белые пятна”.

В 1-й главе излагаются аналитические аспекты решения задач на безусловный экстремум для целевых функций от скалярной или от векторной переменной. Рассматриваются решения специальных задач, в том числе задачи на доказательство иерархии всех средних величин, которой в 1, 3 и 4-й главах придаётся особое иллюстративное значение.

Во 2-й главе излагаются аналитические аспекты решения задач на условный экстремум для целевых функций от векторной переменной – либо зависимой от каких-нибудь параметров, либо ограниченной какими-нибудь уравнениями связи. Кроме того, в этой главе рассматриваются аналитические основы предельных методов. Показана геометрическая взаимосвязь всех трёх направлений условной оптимизации с использованием собственных функциональных проекторов в двух симметричных матричных формах. Выведено характеристическое (вековое) уравнение в стационарной точке для “условных собственных значений” матрицы Гессе.

В 3-й главе развит формальный анализ для неголоморфных функций от комплексных переменных (без увеличения их размерности как обычно вдвое). С применением формального анализа развиты методы безусловной и условной оптимизации для целевых вещественных функций от одной или нескольких пар комплексных сопряжённых переменных или от смешанных переменных.

В 4-й главе даны важные примеры решения экстремальных проблем в общей и линейной алгебре. Как один из результатов отметим теорему о полных требованиях к коэффициентам вещественного алгебраического уравнения для вещественности и положительности его корней.

В 5-й главе рассматриваются основные численные методы поиска экстремума для целевых функций 0-го, 1-го и 2-го порядка от одной или от нескольких скалярных переменных. Отдельно изложены методы поиска условного экстремума в двух ранее указанных вариантах переменной