Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками.
Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Ряд русских математиков — Чебышев, Коркин, Золотарёв, Марков, Ворной и другие — занимались теорией чисел. Ознакомиться с содержанием классических работ этих замечательных учёных можно по книжке Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чисел».
Советские математики, работающие в области теории чисел, продолжая славные традиции своих предшественников, создали новые мощные методы, позволившие получить ряд первоклассных результатов; в разделе теории чисел книги «Математика в СССР за 30 лет» можно найти сведения о достижениях советских учёных в области теории чисел, а также соответствующие библиографические данные.
Многие естественные вопросы из теории чисел красиво решаются геометрическими методами, точнее говоря, методами алгебраической геометрии — области математики, изучающей кривые, поверхности и т. д., задаваемые системами полиномиальных уравнений.
В книжке это показано на примере нескольких красивых задач теории чисел, связанных с теоремой Пифагора. Текст книжки представляет собой значительно пополненную обработку записей лекций, прочитанных В. В. Остриком 18 марта 2000 года на Малом мехмате для школьников 9—11 классов и М. А. Цфасманом 19 марта 2000 года на торжественном закрытии LXIII Московской математической олимпиады школьников (запись Е. Н. Осьмовой, М. Ю. Панова).
Рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. 1-е изд. — 2001 год; 2-е изд., испр. и доп. — 2005 год.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи, к курсу алгебры, который в 1995— 2000 годах читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова.
Основой для настоящего учебника элементарного курса теории чисел послужило 2-е издание моего украинского учебника «Теорія чисел», ДНТВУ, 1936. Первые пять глав остались в основном те же, что были и в украинском издании.
В первой главе несколько расширены параграфы о простых числах; в остальных главах исключены параграфы, напечатанные мелким шрифтом, содержание которых выходит за рамки обычного элементарного курса теории чисел. Шестая глава украинского издания («Квадратичные формы») исключена совершенно, ибо она не входит в официальную программу курса теории чисел.
Вместо неё даны две новые главы: гл. VI — «Некоторые сведения о квадратичных формах» и гл. VII — «Работы по теории чисел русских и советских математиков». В основном в настоящий учебник включен тот материал, который имеется в официальной программе по теории чисел для физико-математических и механико-математических факультетов государственных университетов, изд. 1952 г. (автор А. Гельфонд).
«Лекции по теории чисел» Г. Хассе занимают положение, промежуточное между элементарным руководством по теории чисел и монографией по какому-либо из ее специальных разделов. Первая и вторая главы содержат материал, исторически давно сложившийся. Вторая половина книги вводит читателя в основные области современной теории чисел — теорию алгебраических чисел, теорию алгебраических функций с конечным полем констант и (в меньшей степени) в аналитическую теорию чисел.
Эти области не рассматриваются в книге систематически, но характерные для них постановки вопросов, некоторые основные результаты и связи с элементарной теорией чисел выясняются на важнейших частных случаях. Книга может, таким образом, служить для первоначального ознакомления с теорией чисел, но представляет также интерес и для лиц, с теорией чисел уже знакомых.
Для чтения книги необходима сравнительно небольшая предварительная математическая подготовка. Автор широко пользуется алгебраической терминологией, однако для понимания книги не требуется глубокого владения алгебраической теорией, знание которой в основных чертах алгебраических понятий — кольцо, поле, группа, идеал и т. д. — считается достаточным. Из курса анализа достаточно знать элементарные свойства функций и основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Только в нескольких местах книги для полного понимания необходимо владеть аналитическим аппаратом, применяемым при изучении теории функций комплексного переменного и основной теоремой теории Галуа.
Четырнадцатого марта 1882 г. в Варшаве в семье врача Константина Серпинского родился мальчик, которому дали два имени: Владислав Франциск. Этому мальчику суждено было стать одним из крупнейших польских математиков.
Образование Владислав Серпинский получил в Варшаве. Здесь он окончил гимназию и университет.
Незаурядные способности Серпинского обнаружились рано, повышенный же интерес к математике наметился лишь в последних классах гимназии под влиянием двух его соучеников, владевших некоторыми разделами высшей математики, и прекрасного учителя математики Владзимежа Влодаржика. Последний был очень высокого мнения о математических способностях Серпинского. В гимназии у Серпинского было ещё несколько замечательных учителей. Так, его учителем французского языка был К. Аппель, впоследствии профессор Варшавского университета.
Первое издание настоящей книги ввиду небольшого тиража быстро разошлось. По предложению Государственного издательства политической и научной литературы Литовской ССР автор решил подготовить второе издание.
За три года, протекшие со дня выхода в свет первого издания, вероятностная теория распределения значений аддитивных арифметических функций, изложенная в книге, получила дальнейшую разработку и пополнилась новыми результатами. Это учтено во втором издании, которое подверглось значительной переработке, однако рамки книги не позволили автору включить ряд важных результатов.
Книга П. Г. Лежен Дирихле “Лекции по теории чисел” принадлежит к лучшим классическим книгам по теории чисел. Несмотря на то, что она составлена Р. Дедекиндом по лекциям Дирихле, читанным в 1856/1857 г., она до сих пор не потеряла своего актуального значения. Все желающие получить серьезную математическую подготовку и в настоящее время не могут пройти мимо этой замечательной книги.
В ней содержатся основные результаты теории квадратичных форм, изложенные Гауссом в его знаменитом сочинении “Disquisitiones Arithmeticae” (“Исследования по арифметике”), и дано систематическое изложение исследований самого Дирихле. Эти исследования служат основанием современной теории чисел и принадлежат к наиболее глубоким результатам математики XIX в.
Предлагаемый сборник упражнений предназначается для проработки курса теории чисел в педагогических институтах.
Упражнения довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, дано большое количество упражнений тренировочного характера, предназначенных для выработки студентами вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения курса. Количество таких упражнений, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторных занятий, для самостоятельной работы студентов и для контрольных работ.
Каждый номер этого типа содержит ряд примеров. Для некоторых примеров, особенно первых, даны решения, что особенно необходимо для студентов заочных отделений; некоторые примеры снабжены ответами; такие примеры отмечены звездочкой (*), оставлена без ответов и предназначена для контрольных работ.
