Пусть P dx + Q dy + R dz = 0 — уравнение, выражающее соотношение между дифференциалами dx, dy и dz, где P, Q и R — какие угодно функции переменных x, y и z. Прежде всего необходимо, чтобы это уравнение получалось из некоторого конечного уравнения между этими переменными путем дифференцирования и деления полученного дифференциала на некоторое количество. Итак, пусть задан некоторый множитель, положим M, после умножения на который выражение: P dx + Q dy + R dz
Общая характеристика «Интегрального исчисления» Леонарда Эйлера дана в предисловии М. Я. Выгодского к первому тому. Там же указаны те основные положения, которыми руководились в своей работе переводчики. Поэтому нет, казалось бы, нужды в отдельном предисловии к настоящему тому. Однако читатель этого издания «Интегрального исчисления» будет пользоваться им не так, как современные автора или читатель девятнадцатого века.
Как правило, он не будет изучать классический труд Эйлера «от доски до доски», а, познакомившись с ним в общих чертах, он будет на выборку, в соответствии со своим интересом, внимательно читать отдельные главы и разделы. Можно быть уверенным, что со временем он перечитает весь материал или почти весь трёхтомный трактат Эйлера, так как это сочинение и сейчас может заразить своим живым, творческим духом, дать пищу для размышлений историку, исследователю, методисту.
Этот вид для размышлений источника заключён, возможно, не в богатстве материала и некотором наборе теоретического материала, а в эмоциональности и в том, что каждое единственное доказательство заключается в понятии.
Трёхтомное «Интегральное исчисление» Эйлера завершает грандиозный курс математического анализа и его геометрических приложений; первым звеном этого курса является двухтомное «Введение в анализ бесконечно малых» (1748, 1749), вторым — «Дифференциальное исчисление» (1755)¹. К работе над «Интегральным исчислением» Эйлер приступил в октябре 1759 г.
Через четыре года, в декабре 1763 г., Эйлер сообщил (в письме к Х. Гольдбаху), что рукопись «Интегрального исчисления» завершена полностью. Но, по-видимому, в течение ряда лет, протекших до печатания «Интегрального исчисления» (первый том вышел в 1768 г., второй — в 1769 г., третий — в 1770 г.), Эйлер внёс в рукопись существенные дополнения; так, в главе VI второго раздела первого тома он излагает «не так давно найденные результаты» относительно интегрирования (в алгебраическом виде) уравнения.
Книга Г. Поля и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшая на немецком языке в 1925 г. и в русском переводе в 1937—1938 гг., давно уже стала настольной книгой математиков, работающих или только желающих овладеть навыками научной работы в области теории функций.
Книга неоднократно переиздавалась и была переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло второе русское издание. Для настоящего третьего издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим немецким изданием.
Интегрирование. Учащийся уже раньше познакомился с тем фактом, что математические действия встречаются попарно, образуя пары двух взаимнообратных действий. Такими парами, например, являются: сложение и вычитание (+, -), умножение и деление (×, ÷), возведение в целую положительную степень n и извлечение корня (n, √-*).
Далее, учащийся знает, что характеристики функций можно рассматривать тоже как действия и что эти действия также распределяются попарно: на прямые и обратные. Если заданная функция обозначается через f(x), то, чтобы найти для характеристики f обратную характеристику φ, надо в равенстве y=f(x) заменить местами буквы y и x, x=f(y), и затем решить полученное уравнение относительно буквы y, y=φ(x). Характеристика φ является обратной для функции f(x).
Книга представляет собой мастерски написанный крупным математиком курс математического анализа, адресуемый автором «будущим учителям и научным работникам в области математики, физики и других естественных наук, а также инженерам».
Первый том был впервые издан на русском языке в 1931 г. Последнее, 4-е издание первого тома, переработанное и значительно дополненное, вышло в конце 1967 г.
Второй том посвящен главным образом дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных. По сравнению с первым русским изданием, вышедшим в 1931 г., настоящий перевод содержит многочисленные добавления автора, появившиеся в последних изданиях на немецком и английском языках.
Книга может служить полезным учебным пособием для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и вузов с повышенным курсом математики.
Книга представляет собой мастерски написанный крупным математиком курс математического анализа, адресуемый автором «будущим учителям и научным работникам в области математики, физики и других естественных наук, а также инженерам». Первый том был впервые издан на русском языке в 1931 г.
Настоящий перевод первого тома содержит дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, очерк теории функций нескольких переменных, дифференциальные уравнения простейших типов колебаний. В него включены многочисленные добавления автора, появившиеся в последующих изданиях на немецком и английском языках, в частности тщательное подробные и систематизированные упражнения и задачи.
Книга может служить учебным пособием по математическому анализу для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и вузов.
Издавая ныне книгу: Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, соч. Коши, переведенную мною на Русский язык несколько лет тому назад, я имел в виду познакомить моих соотечественников с произведением автора, коего труды на ученом поприще, уже ознаменованы важными открытиями в Анализе. Г. Коши, в изложении правил дифференциального и интегрального изучения, уклоняется от способов предшествовавших ему писателей, и почти всегда преимущественно опирается на его стороны. По сей-то причине, да будет мне дозволено изъявить желание, чтобы сей перевод был принят за руководство в Учебных Заведениях.
Том 1 включает дифференциальное исчисление одной и нескольких вещественных переменных и его основные приложения.
Автором представлено краткое изложение лекций о дифференциальном и интегральном исчислении. Все сочинение будет состоять из двух частей, относительно с разделением курса, продолжающегося два года. В первой части содержится сорок уроков, первые двадцать составляют дифференциальное исчисление, а последние - интегральное. Излагаемые здесь способы во многом различаются от тех, которые приняты в других сочинениях о том же предмете.
