Книга представляет собой популярное изложение элементов теории игр и некоторых способов решения матричных игр. Она почти не содержит доказательств и иллюстрирует основные положения теории примерами. Для чтения достаточно знакомства с элементами теории вероятностей и математического анализа.
Книга предназначена для популяризации идей теории игр, имеющей широкое практическое применение в экономике и военном деле.
Монография посвящена проблеме восстановления зависимостей по эмпирическим данным. В ней исследуется метод минимизации риска на выборках ограниченного объема, согласно которому при восстановлении функциональной зависимости следует выбирать такую функцию, которая удовлетворяет определенному компромиссу между величиной, характеризующей ее «сложность», и величиной, характеризующей степень ее приближения к совокупности эмпирических данных.
Рассмотрено применение этого метода к трем основным задачам восстановления зависимостей: задаче обучения распознаванию образов, восстановлению регрессии, интерпретации результатов косвенных экспериментов. Показано, что учет ограниченности объема эмпирических данных позволяет решать задачи распознавания образов при большой размерности пространства признаков, восстанавливать регрессионные зависимости при отсутствии модели восстанавливаемой функции, получать устойчивые решения некорректных задач интерпретации результатов косвенных экспериментов. Приведены соответствующие алгоритмы восстановления зависимостей.
Эта книга знакомит читателя с основами математической статистики. Ее автору, известному ученому ван дер Вардену, удалось, не поступаясь математической строгостью, построить свое изложение таким образом, что для чтения книги не требуется знакомства ни с какими специальными разделами математики. Многочисленные примеры, иллюстрирующие применение математической статистики к разного рода научным и практическим задачам, представляют значительный интерес.
Книга принесет большую пользу как специалистам-практикам, использующим в своей работе методы математической статистики, так и научным работникам, аспирантам и студентам, специализирующимся в этой области.
Выдающийся французский математик Э. Борель (1871—1956) был исключительно разносторонен и продуктивен. Он оставил после себя огромное научное наследие, состоящее из многочисленных оригинальных работ, монографий и учебников, относящихся к различным областям математики и ее применениям к физике и другим разделам естествознания. Ему принадлежат также работы по философским вопросам математики и большое число популярных статей и книг.
Для его книг характерна острота постановок важных задач, неожиданность сопоставлений, стремление увязать результаты теоретической математики с задачами практики, понимаемой достаточно широко.
В них всегда много интересных мыслей и неожиданных подходов к изучению важнейших вопросов науки, хотя и не со всеми его методологическими установками может согласиться читатель. Однако не философские воззрения составляют ядро и основу ценности его произведений. Стремление понять сущность явлений и использовать для этой цели математический аппарат, а порой и развить новые идеи, разбудить мысль читателей и открыть им путь к новому пониманию науки в увлекательной и доступной форме, — вот что в первую очередь свойственно статьям и книгам Э. Борея.
Предположим, что X является значением входа системы. Например, X может быть концентрацией одной из составляющих, подаваемых в химический процесс. Пусть X влияет на выход системы Y. Например, Y может быть выходом продукта химического процесса. Обычно благодаря инерционности системы изменение X не оказывает немедленного действия на выход, а вызывает некоторую запаздывающую реакцию, и в конце концов Y приходит к равновесию на новом уровне. Такое изменение мы будем здесь называть динамической реакцией. Модель, описывающая эту динамическую реакцию, называется моделью передаточной функции. Мы предполагаем, что наблюдения входа и выхода производятся через равные интервалы времени. Соответствующая модель передаточной функции будет называться дискретной.
Модели такого типа могут описывать не только ход индустриальных процессов, но и экономические и торговые системы. Построение моделей передаточных функций важно потому, что только тогда, когда динамические характеристики изучены, возможны разумное управление и контроль над системой. Даже при тщательном контролировании условия на Y может влиять не только X. Комбинированный эффект всех влияний мы будем называть возмущением или шумом. Модель, связанная с реальными данными, должна учитывать не только динамические соотношения между X и Y, но также и шум, существенный в некоторых случаях, когда Y может получить значение, отличное от ожидаемого, в результате состоящего из детерминированного и стохастического моделируемого шума.
В этих двух главах мы показываем, как ранее введенные стохастические модели и модели передаточных функций можно объединить при проектировании простых схем управления с прямой и обратной связями.
Первый вариант рукописи книги был завершен в 1965 г. и издан в 1966—1967 гг. как технические доклады № 72, 77, 79, 94, 95, 99, 103, 104, 116, 121 и 122 факультета статистики университета шт. Висконсин и № 1—4, 6—11 и 13 факультета системной техники университета в Ланкастере.
Книга посвящена общей теории слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах. Развитые в последние пятнадцать лет методы изучения распределений (в частности, сходимости распределений) в функциональных пространствах оказались весьма плодотворными.
Книга даёт достаточно полное изложение материала. При этом автор на ряде примеров постарался продемонстрировать широкую применимость общих результатов в задачах теории стохастических процессов.
Монография известного американского специалиста по математической статистике содержит обстоятельное изложение теории статистических выводов для различных вероятностных моделей. Излагаются методы представления временных рядов, оценивания параметров соответствующих вероятностных моделей, проверки гипотез относительно их структуры.
Собранный автором обширный материал, разбросанный ранее по различным источникам, делает книгу ценным руководством и справочником. Большое число задач, дополняющих основной текст, позволяет ознакомиться с перспективами развития теории.
Эта книга весьма полезна студентам и аспирантам, специализирующимся в области теории вероятностей и математической статистики; она, несомненно, привлечет внимание инженеров, математиков и научных работников различных специальностей, интересующихся приложениями теории вероятностей.
Наиболее обычная и важная теоретическая схема, которой мы пользуемся для познания внешнего мира и для предвидения отдельных фактов, состоит в том, что на основании предшествующего опыта утверждается достоверность наступления события известного класса А, если осуществлен некоторый определенный комплекс условий а, каковы бы ни были прочие обстоятельства. Поскольку в данном конкретном опыте соблюдены условия а, наступление факта А неизбежно.
В дальнейшем нам придется еще рассмотреть в свете теории вероятностей, на чем покоится и насколько обоснована эта уверенность, и мы увидим, что абсолютной достоверностью наши предвидения о ходе реальных явлений никогда не могут обладать; но пока нам нет надобности на этом останавливаться.
Заметим лишь, что предполагаемый нами закон, связывающий комплекс а с фактом А, только тогда будет практически полезен, если совокупность условий а не слишком сложна и не слишком трудно поддается наблюдению; если, напротив, неуловимое изменение условий опыта влечет за собой противоположный результат, если, даже при самом беспримерном внимании, вложенном для исследования того, когда закон а выполнится, не удается заметить согласованной корреляции между ним и наступлением А, тогда следование предполагать, что закон а есть ничего больше, чем гипотеза для предвидения факта А, который мы называем тогда случайным.
В постановках задач классической дифференциальной геометрии выделяются два направления: одно из них ставит своей целью изучение локальных свойств геометрических объектов, в то время как второе основное внимание уделяет их глобальным свойствам. Первое из этих направлений привело в XIX веке к созданию дифференциальной геометрии «в малом», которая, по существу, представляет собой систематическое применение аппарата математического анализа к геометрии как в определении основных понятий, так и в методах решения задач.
Второе направление привело к дифференциальной геометрии «в целом», исследующей геометрические объекты на всем протяжении, а не только в отдельных отмеченных точках. Простейшим примером таких объектов является сфера или любая замкнутая поверхность. В то время как методы решения задач «в малом» большую часть уже фактически определены и поставлены, для решения задач геометрии «в целом» средств классической дифференциальной геометрии, как правило, оказывается далеко не достаточно.
