Настоящий курс «Элементы математического анализа» представляет собой несколько сокращённый и в значительной части переработанный вариант моего «Курса математического анализа», изданного Физматгизом в 1954—1957 гг. Этот вариант рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке предъявляются достаточно высокие требования, и приспособлен к ныне действующей программе (460 часов) Министерства высшего и среднего специального образования СССР.
Я стремился также сделать курс пригодным для заочного обучения, для чего изложение старался вести достаточно обстоятельно и в то же время достаточно сжато (чтобы главное не тонуло в неглавном), теорию снабдил весьма большим числом разобранных иллюстрирующих примеров и поясняющих чертежей.
В настоящем варианте курс математического анализа фактически не раз читался и неплохо усваивался студентами, и в том числе заочниками. Изложение ведётся, думаю, достаточно строго, но без излишеств. То, что доказывается, доказывается более или менее строго. Ряд доказательств в соответствии со вкусами порой опущен, фактически вводимые доказательства, связанных, так сказать, с «ловкостью рук», не допускаю. На готовых уже и много менее местах материал, который в усвоении требует более или менее конечно можно опустить, выделен мелким шрифтом.
Настоящий выпуск задачника-практикума составлен применительно к учебнику Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, том I. Цель его — научить студента-заочника технике интегрирования и умению решать различные задачи на приложения определенных интегралов.
При составлении задачника-практикума мы прежде всего исходили из учета тех довольно больших трудностей, с которыми встречаются многие студенты-заочники при изучении курса математического анализа. Основная из этих трудностей состоит в том, что изучающий заочно высшую математику, как правило, лишен возможности систематически получать устную консультацию преподавателя. Мы больше всего старались предвидеть те “трудные места”, которые могут встретиться студенту на пути овладения методами интегрирования, очень осторожно подходили к подбору задач, к постепенному повышению их трудности.
Особенно нелегко было выбрать задачи, к которым следует дать подробные решения. В самом деле, каждая решенная задача должна содержать некоторые новые элементы, с которыми студент до сих пор еще не встречался, причем таких новых элементов должно быть в задаче не очень много. Кроме того, все решенные типичные задачи в том числе иностраны должны обесцвечивать студенту возможность самостоятельно задуматься и сотрудничать со всеми задачами, предлагаемыми для самостоятельного решения.
Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.
В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых вузов. Она будет полезна студентам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.
Заочники первого года обучения встречают большие затруднения при изучении первой части математического анализа. Во введении в анализ в большом количестве даются весьма важные основные понятия математического анализа. Успех изучения математического анализа на старших курсах в большой степени зависит от того, как усвоены студентом эти понятия.
На первом курсе у студента нет необходимых навыков самостоятельной работы, а потому изучение этой части курса часто сводится к заучиванию определений. В итоге студент знает формулировки, но не понимает их. Контрольная работа должна оказать помощь студенту в его самостоятельной работе. Изложенные варианты контрольных работ составлены так, что в них включены задачи, связанные с основными понятиями анализа.
В ряде задач предлагается студенту самостоятельно сконструировать примеры, связанные с определенными понятиями. Эта группа задач должна способствовать сознательному усвоению этих понятий.
От других учебников математического анализа настоящая книга отличается прежде всего тем, что мы совершенно отказались от понятия предела переменной величины, сведя все вопросы теории пределов к рассмотрению предельных значений функций. Это позволяет сделать изложение логически более прозрачным. Правда, в вышедшей недавно книге академика Н. Н. Лузина (*) дано обоснование понятия предела переменной величины; однако, потребуется некоторое время, чтобы эти идеи вошли в учебники анализа.
При изложении мы стремились избегать формализма и догматизма. Так, всякий раз, когда мы перечисляли условия применимости той или иной теоремы, мы приводили примеры, указывающие на необходимость этих условий. В теоретических приложениях мы не ограничивались обычным формальным определением длины и площади, но дали развернутую их теорию, не зависящую от интегрального исчисления.
Настоящий задачник-практикум по интегральному исчислению функций одной переменной предназначен для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов. При составлении его автор придерживался существующей программы курса.
Рекомендуемый задачник ставит своей целью оказать существенную помощь студенту-заочнику в овладении техникой интегрирования и решении разнообразных задач на приложения определенного интеграла. Поэтому данное руководство следует рассматривать как некоторую замену аудиторных практических занятий по интегральному исчислению.
В основу настоящей книги положен специальный курс, читавшийся автором на механико-математическом факультете Московского университета. Излагаемый материал не предполагает почти никаких предварительных знаний и вполне доступен читателю, владеющему стандартным курсом математического анализа. Более подробная характеристика книги приведена в п. 9 введения.
Автор глубоко благодарен своим учителям А. А. Маркову и Н. М. Нагорному, без многолетнего плодотворного общения с которыми эта книга не могла бы быть написана.
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить за большое внимание к книге председателя Научного Совета по комплексной проблеме «Кибернетика» академика А. И. Берга и сотрудников Совета Б. В. Бирюкова и Е. С. Геллера. Автор весьма признателен также Е. И. Адаму за внимание и ценные советы.
Настоящая книга написана на основе лекций по курсу высшей математики, которые читались одним из авторов в течение ряда лет в Криворожском горнорудном и в Воронежском лесотехническом институтах.
Общеизвестно, что при изучении курса высшей математики учащийся встречает ряд трудностей. Особенно трудно усваивается первая часть математического анализа, содержащая теорию пределов и дифференциальное исчисление. Эти трудности, с одной стороны, объясняются обилием новых понятий и методов, с другой, по нашему мнению,—недостатками в построении курса. Главным из них мы считаем отсутствие ясности в том, что является основным объектом исследования.
Создается впечатление, что наиболее важным является изучение логической взаимосвязи между различными новыми понятиями.
Множество — произвольная определяемая совокупность объектов (это определение т.н. “наивной” теории множеств, поэтому ниже будет упомянут парадокс Расселла и необходимость аксиоматического подхода).
Если объект x принадлежит множеству M, то пишут x ∈ M или M ∋ x. При этом x называется элементом или точкой множества M.
Обычно будем обозначать множества большими латинскими буквами, а их элементы — маленькими латинскими. Однако элементы множества также могут быть множествами, поэтому данное разграничение несущественно.
“Руководство” предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по математическому анализу для машиностроительных, приборостроительных, механических, энергетических и строительных специальностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов технологических специальностей, которые могут опустить те разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не превышают требований программы. Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение некоторых вопросов в тексте, что будет иметь возможность устранить этот недостаток в следующем издании.
