Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образуют категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры.
За последние годы за рубежом появилось несколько монографий, содержащих систематическое изложение основ теории категорий и некоторых ее достижений, относящихся, как правило, к абелевым категориям. Некоторые результаты, относящиеся к абелевым категориям, можно найти в книгах А. Гротендика [3], А. Картана и С. Эйленберга [4], С. Маклейна [10], переведённых на русский язык. В этих книгах категорией пользуются как вспомогательный аппарат для гомологической алгебры. Интересное и глубокое изложение теории абелевых категорий можно найти в книгах П. Фрейда [13], Б. Митчела [11] и П. Габриэля [2].
Известный американский математик М. Холл уже знаком советскому читателю по изданным в русском переводе книгам — «Теория групп» (ИЛ, 1962) и «Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга является наиболее полным изданием в области комбинаторного анализа.
Она состоит из трех основных частей: проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные с ними вопросы и проблемы существования и построения блок-схем. Книга написана на высоком научном уровне и освещает самые новейшие достижения в области комбинаторики.
Она доступна весьма широкому кругу читателей и, несомненно, заинтересует математиков различных специальностей.
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов: теория множеств немыслима без отображений множеств, топология немыслима без непрерывных отображений, алгебра немыслима без гомоморфизмов алгебраических систем и т. д. Обычно объекты и их отображения образуют категорию.
Грубо говоря, это означает, что отображения можно иногда перемножать, причем это умножение ассоциативно. Абстрагируясь от структуры объектов, теория категорий изучает свойства совокупности отображений, снабжённой частичной операцией умножения. В последние годы все более вырисовывается объединяющая и унифицирующая роль теории категорий в математике. Поэтому, наряду с теорией множеств, она образует фундамент современного математического мышления и является самостоятельной областью математики.
В комбинаторном анализе исходят из рассмотрения множеств дискретных элементов, к которым применяются комбинаторные операции упорядочения и выбора. Формирование общей теории комбинаторного анализа, способной охватить огромное количество задач, которые решаются в различных отделах математики применением комбинаторных суждений, еще не завершено. Литературы на русском языке по комбинаторному анализу еще нет.
Настоящая книга Маршалла Холла младшего — американского математика, известного советскому читателю по переводу его книги “Теория групп”, — является обзором современного состояния теории комбинаторного анализа в области теории перестановок и выбора, а также построения различных схем. Автор отмечает задачи и направления, наиболее перспективные в этом отношении. В тексте рассматриваются задачи из теории чисел, теории конечных групп, геометрии и топологии.
«Теория множеств» Хаусдорфа принадлежит к тем, исчисляющимся единицами, классическим произведениям математической литературы, которые не только подводят итоги целому периоду в развитии данной дисциплины, но и намечают пути дальнейшего исследования. Когда говорят о «Теории множеств» Хаусдорфа, то, собственно, имеют в виду две книги: первое издание, вышедшее в 1914 г. под названием «Grundzüge der Mengenlehre», и второе издание, вышедшее в 1927 г. и озаглавленное просто «Mengenlehre».
Эти две книги настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны быть рассматриваемы как два произведения математической литературы, а не как два издания одной и той же книги.
Наиболее существенными отличиями этих двух книг являются следующие: 1° теория топологических пространств, являющаяся основой изложения в первом издании и впервые систематически построенная Хаусдорфом, во втором издании представлена лишь одним параграфом: все изложение теории точечных множеств ведется во втором издании для метрических пространств; 2° во втором издании отсутствует теория меры и лебеговской интеграции, а также теория эвклидовой плоскости и n-мерного пространства; 3° во втором издании прибавлена — и причем в мастерском изложении — теория А-множеств Суслина [в настоящем переводе эти множества в соответствии с терминологией, принятой Хаусдорфом, называются по имени открывшего их М. Я. Суслина (род. в 1894 г., ум. в 1919 г.) суслинскими множествами].
До выхода в свет в 1934 г. английского оригинала предлагаемой русскому читателю книги Г. Харди, Дж. Литтлвуда и Г. Полиа в мировой математической литературе не существовало монографии, посвящённой неравенствам как таковым.
Появление этой книги способствовало повышению интереса к неравенствам среди математиков и вызвало ряд новых работ в этой области. Несмотря на то, что многие из рассмотренных в этой книге неравенств приводятся в качестве вспомогательного аппарата в уже существующих на русском языке книгах по различным вопросам, и несмотря на то, что выбор материала в предлагаемой книге по необходимости ограничен и далеко не содержит всех типов неравенств, применяемых в анализе, книга эта оказалась весьма полезной не только тем читателям, которые заинтересованы в неравенствах как в специальном предмете математического исследования, но и тем, для которых неравенства являются лишь необходимыми орудиями при исследовании других вопросов.
Содержание настоящей книги достаточно полно освещено в предисловии авторов и во введении.
Монография по современному, бурно развивающемуся разделу дискретной математики — теории перечисления графических объектов. Имя первого автора хорошо известно по переводам его статей и книги «Теория графов» («Мир», 1973).
В предлагаемой работе наряду с классическими результатами Редфилда, Пойа и де Брейна представлены сравнительно новые факты, установленные Робинсоном, Байнеке и авторами. Последняя глава содержит интересный обзор решённых и нерешённых задач перечисления графов. Изложение систематичное и достаточно подробное.
Книга заинтересует математиков, физиков, экономистов и специалистов, работающих в тех областях знания, где используются идеи и методы комбинаторного анализа.
В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Наряду с традиционными приложениями её в таких науках, как физика, электротехника, химия, она проникла и в науки, считавшиеся раньше далекими от неё, — экономику, социологию, лингвистику и др. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. Особо важная взаимосвязь существует между теорией графов и теоретической кибернетикой (особенно теорией автоматов, исследованием операций, теорией кодирования, теорией игр). Широко используется теория графов при решении практических задач на вычислительных машинах.
За последние годы тематика теории графов стала значительно разнообразней, резко увеличилось количество публикаций.
Предлагаемая книга написана одним из видных специалистов по дискретной математике. Несмотря на небольшой объем и конспективный характер изложения, книга достаточно полно освещает современное состояние теории графов. Она, безусловно, будет полезна студентам университетов и технических вузов, и, несомненно, займет известное место в кругу научных работников, занимающихся проблемами дискретной математики.
Пусть ( U = {u_1, u_2, \ldots, u_m, \ldots} ) — исходный алфавит переменных (аргументов) и ( E_2 = {0, 1} ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ( f(u_{i_1}, u_{i_2}, \ldots, u_{i_n}) ), где ( u_{i_s} \ne u_{i_t} ) при ( s \ne t ), аргументы и значение которой определены на множестве ( E_2 ), называется функцией алгебры логики или булевой функцией.
ЗАМЕЧАНИЕ. Чтобы избежать сложных обозначений для индексов переменных, мы будем употреблять в качестве произвольных символов алфавита ( U ) символы ( x, y, z, \ldots ), а также эти символы с индексами ( x_1, x_2, \ldots, y_1, y_2, \ldots ).
Об академическом издании сочинений Римана, задачей которого было бы воспроизведение и критическое изучение всего, что сохранилось в его научном наследии или, будучи записано рукой его друзей и учеников, должно было бы рассматриваться как подлинно ему принадлежащее, можно говорить как о памятнике Риману, как о деле высокой важности, для выполнения которого у нас нет, однако, никаких предпосылок.
Не менее значительной и, возможно, актуальной была бы задача — проследить развитие идей Римана от их возникновения вплоть до наших дней: расчленить всё творчество Римана на составные части и, устранив небольшую долю заведомо устаревшего (не скрывающего исторической роли), сделать оставшееся фундаментом обширного построения, в котором были бы отражены, систематизированы и увязаны с их первоисточниками успехи нескольких поколений математиков.
Предпринять такую работу было бы под силу мощному авторскому коллективу, и созданное Риманом — пусть его большая слава — растворилось бы в энциклопедии современной математики.
