SCI Библиотека

В этом томе излагаются основные методы теории алгебраических многообразий в n-мерном пространстве. В нем даются также приложения этих методов к некоторым из наиболее важных многообразий, используемых в проективной геометрии.

Первоначально мы предполагали изложить также арифметическую теорию многообразий и основы бирациональной геометрии, но оказалось более удобным оставить эти разделы для третьего тома. Поэтому теория алгебраических многообразий, развитая в этом томе, является в основном теорией многообразий в проективном пространстве.

Геометрия алгебраических многообразий высших размерностей является естественным развитием теории алгебраических кривых и поверхностей. Ее можно рассматривать также как геометрическую теорию систем алгебраических уравнений или как геометрический аспект теории алгебраических функций. Ввиду такой многогранности предмета изучения, алгебраическая геометрия чрезвычайно богата связями с самыми различными отраслями математики, причем связи эти возникают как в постановках вопросов, так и в используемых методах.

История алгебраической геометрии своеобразна в том отношении, что в ней накопление фактического материала намного опережало «наведение порядка» в смысле достижений надлежащей строгости. Разрыв здесь настолько значителен, что до сих пор не исчезли сомнения в правильности многих утверждений и не прекратились дебаты о том, достаточно ли или нет имеющихся доказательств. Все это, конечно, крайне затрудняет изучение алгебраической геометрии по имеющейся литературе.

Настоящая книга предназначена в качестве учебника по аналитической геометрии для студентов механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Наличие в книге задач с решениями и задач для самостоятельного решения (с ответами) позволяет использовать заочниками эту часть книги как материал семинарских занятий.

Помимо традиционного материала по аналитической геометрии в книге дано понятие о линейном пространстве и линейном многообразии. Линейное отображение определяется как коллинеация, при которой сохраняется простое отношение и положение собственных векторов. Дана метрическая теория инвариантов в аффинной системе. Рассмотрены кривые и плоские сечения поверхностей второго порядка. Проективные координаты и теоремы Дезарга, Паскаля и Брианшона даны в дополнении. В основном тексте — только однородные координаты.

Работы выдающегося французского математика Ж.-П. Серра хорошо знакомы советскому читателю по русскому переводу его книг: «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа» («Мир», 1968), «Алгебры Ли и группы Ли» («Мир», 1969), «Линейные представления конечных групп» («Мир», 1970), «Курс арифметики» («Мир», 1972).

Его новая книга, посвященная арифметике алгебраических (в особенности абелевых) многообразий в тех её аспектах, которые связаны с дзета-функциями, автоморфными функциями и теорией Галуа, написана с присущим этому автору мастерством. Она, несомненно, представляет интерес для математиков, и в первую очередь для специалистов по теории чисел, алгебре и топологии.

Цель этого пособия состоит в том, чтобы помочь студентам первого курса математического и физического факультетов при изучении раздела “Векторная алгебра” курсов “Аналитическая геометрия”, “Геометрия”, “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”.

Вместе с предельно кратким изложением теоретического материала пособие содержит приемы решения типовых задач, знание которых является необходимым условием понимания курса. В стандартных учебниках этим приемам не уделяется должного внимания. Часть задач снабжена решениями, часть — ответами.

Учебник написан в соответствии с обязательным минимумом стандарта биологического образования и требований к уровню подготовки учащихся основной (базовой) школы. Он содержит все необходимые сведения о строении и жизнедеятельности организма человека, способствующие обеспечению здорового образа жизни. Большое внимание в нем уделено вопросам высшей нервной деятельности человека, гигиены и доврачебной помощи.

Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функторов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего прогресса.

Будучи фундаментом “численных методов” в алгебраической геометрии и теории схем, K-теория доставляет необходимый аппарат для исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраических циклах или проблем бирациональной геометрии.

Эта теория представлена в предлагаемых записях лекций второго года. Читатель, для которого лекции 2 окажутся недоступными, сможет понять эти записи, ознакомившись с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности 3, 4).

В 1986-1988 гг. автор прочел на механико-математическом факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической геометрии. Материал первого года был размножен на ротапринте 2, материал второго года был опубликован в “Успехах математических наук” 5. Оба эти издания сохранили отпечаток лекционного курса, с его преимуществами и недостатками.

Предлагаемая книга отличается небольшим и стольным силу трудовой главой задуманного учебника по алгебраической геометрии. Она уже включает для обозрения материал многих лекций 2, значительно расширенных и переработанных.

Предлагаемая книжка содержит прежде всего краткий, но очень ощупчивый очерк основных понятий теории схем и техники когомологий когерентных пучков на них. Далее, эта техника применяется к теории кривых и поверхностей, для которых строятся схемы Пикара и доказывается ряд фундаментальных алгебро-геометрических фактов.

Книга трудна, но написана очень живо и на редкость содержательно. В немногочисленной монографической литературе по современной алгебраической геометрии она занимает особое место: по ней можно изучать содержательные результаты, хотя предварительные требования к читателю достаточно высоки.

Вопросы векторной алгебры составляют обязательный раздел курса аналитической геометрии, читаемого студентам физико-математических факультетов пединститутов. Важность этого раздела определяется тем, что многие вопросы аналитической геометрии успешно описываются средствами векторной алгебры, а также и тем, что на базе векторной алгебры строится векторный анализ, широко применяемый в курсах дифференциальной геометрии, общей и теоретической физики, теоретической механики.

Кроме приложений к обязательным курсам, векторная алгебра с успехом может быть использована при решении различных задач элементарной геометрии. Последнее обстоятельство усиливает роль векторной алгебры при подготовке учителя математики и физики средней школы.

Исходя из этого, была предпринята попытка выделить векторную алгебру из курса аналитической геометрии при составлении задачника-практикума по этому курсу. Мы надеялись, что такая методика изучения векторного анализа улучшит теоретическую и профессиональную подготовку студентов.